Нелинейная свободная система второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?о из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого, и текущие значения входных и выходных переменных не равны значениям, соответствующим заданному режиму. Обычно систему управления проектируют таким образом, чтобы реальный процесс мало отличался от требуемого режима, т.е. чтобы отклонения от заданного режима были малы. Это позволяет производить линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора в точке, соответствующей заданному режиму, и отбрасывая нелинейные относительно отклонений и их производных слагаемые.
Рассмотрим подробно процесс линеаризации.
Исходное нелинейное дифференциальное уравнение
?(t) + 0,5?(t) + 0,1[ ?(t) ]2 + y(t) = 0,
т.о. динамическое уравнение системы имеет нелинейный вид
F (y, ?, ?) = 0
Для удобства представим данную систему в простом виде, положив y = x1, ? = x2 и получив уравнение в нормальной форме:
?2 = ? x1 - 0,1- 0,5x2
Тогда динамическое уравнение системы в общей форме имеет нелинейный вид
F (x1, x2, ?2) = 0 (4.1)
Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях x1= и x2=. Тогда уравнение установившегося состояния для данной системы согласно (4.1) будет
(, , 0) = 0 (4.2)
В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае x1, x2) изменяются так, что их отклонения от установившихся значений (, ) остаются всё время достаточно малыми.
Обозначим указанные отклонения через ?x1, ?x2. Тогда в динамическом процессе
x1(t) = + ?x1(t)
x2(t) = + ?x2(t) (4.3)
?2 = ? ?2
Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического управления обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.
Внешнее же воздействие f (правая часть уравнения) не зависит от работы автоматической системы, изменение его может быть произвольным, и поэтому правая часть уравнения (4.1) обычно линеаризации не подлежит (в отдельных случаях и она может быть линеаризована).
Далее выполняем линеаризацию.
Разложим функцию F, стоящую в левой части уравнения (4.1) в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение (4.1) примет вид:
F (, , 0) + 0 •?x1 + 0 •?x2 + 0 •??2 = 0, (4.4)
Где через 0 обозначена величина , взятая при x1 = , x2 = , ?2 = 0 (т.е. сначала берется в общем виде частная производная от функции F по x1, после чего в неё вместо всех переменных подставляются их постоянные значения , , 0).
Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (4.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция F будет содержать t в явном виде или если установившийся процесс в системе будет определяться переменными значениями (t), (t).
Находим:
система дифференциальный уравнение равновесие
• ?x1 = 1• ?x1 = ?x1
• ?x2 = 0,5•?x2 + 0,1•2•?x2 = 0,7?x2
• ??2 = 1•??2 = ??2
Вычтя из уравнения (4.4) почленно уравнение установившегося состояния (4.2), получим искомое линеаризованное уравнение динамики данной системы:
x1 + 0,1 + 0,5x2 + ?2 + ?x1 + 0,7?x2 + ??2 = 0
Подставляя заданные начальные условия y(0) = x1 = 1, ?(0) = x2 = 1, получаем:
+ 0,1•12 + 0,5•1 + 1? + ?x1 + 0,7?x2 + ??2 = 0
??2 + 0,7?x2 + ?x1 + 1,6 = 0 - искомое линеаризованное уравнение. (4.5)
Это дифференциальное уравнение, так же, как и (4.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем:
1)это уравнение будет являться приближенным, если в процессе его вывода будут отброшены малые высшего порядка;
2)неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины x1, x2, а их отклонения ?x1, ?x2 от некоторых установившихся значений , ;
3)полученное уравнение является линейным относительно отклонений ?x1, ?x2, ??2 с постоянными коэффициентами 0 , 0 , 0 (или с переменными коэффициентами, если F содержит t в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется переменными величинами (t), (t), например, при программном управлении).
Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (4.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях.
5. Получить аналитическое решение линеаризованной системы и построить его график y(t) для тех же начальных условий y(0) = 1, ?(0) = 1
Полученная линеаризованная система имеет вид
y?? + 0,7y? + y + 1,6 = 0 (5.1)
и представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общий вид которого
a2y?? + a1y? + a0y = 0.
Данное уравнение интегрируется следующим способом.
Составляют характеристическое уравнение
a2л2 + a1л + a0 = 0,
D = a12 - 4a2a0 - дискриминант.
Вид общего решения зависит от значения дискриминанта D:
)при D > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня
л1,2 = б1,2 =
и общее решение имеет вид
y(t) = С1 • eб1•t + С2 • eб2•t
где С1, С2 - произвольные постоянные.
)при D = 0 уравнение имеет два совпадающих вещественных корня
л1 = л2 = б =
и общее реше