Нелинейная свободная система второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ние имеет вид
y(t) = С1 • eб•t + С2 • eб•t
)при D < 0 уравнение имеет два комплексно сопряженных корня
л1,2 = б iв = i •
и общее решение имеет вид
y(t) = С1 • eб•t • cos(вt) + С2 • eб•t • sin(вt)
Итак, составляем характеристическое уравнение из исходного (5.1) (свободный член обнуляем):
y2 + 0,7y + 1 = 0
Здесь a2 = 1, a1 = 0,7, a0 = 1.
Вычисляем дискриминант:
= a12 - 4a2a0 = 0,72 ? 4•1•1 = 0,49?4 = ?3,51
Дискриминант - отрицательное число, следовательно, наше уравнение имеет два комплексно сопряженных корня
л1,2 = б iв = i •
л1,2 = i •
л1,2 = ? 0,35 i • 0,937,
откуда
б = ?0,35, в = 0,937
Общий вид уравнения
(t) = С1 • e-0,35t • cos(0,937t) + С2 • e-0,35t • sin(0,937t) (5.2)
Мы получили общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Далее нам необходимо найти решение уравнения (5.2), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, ?(0) = 1, т.е. решить задачу Коши.
Подставляя значение t=0 в уравнение (5.2), получаем первое условие:
y(0) = С1 • e-0,35•0 • cos(0,937•0) + С2 • e-0,35•0 • sin(0,937•0)
y(0) = С1 • 1 • 1 + С2 • 1 • 0 = С1
y(0) = 1 => С1 = 1
Второе условие ?(0) = 1:
y?(0) = [С1 • e-0,35t • cos(0,937t) + С2 • e-0,35t • sin(0,937t)]?
y?(0) = [С1 • e-0,35t • cos(0,937t)]? + [С2 • e-0,35t • sin(0,937t)]?
y?(0) = [С1 • e-0,35t • cos(0,937t)]? + [С2 • e-0,35t • sin(0,937t)]?
y?(0) = (С1 • e-0,35t )? • cos(0,937t) + С1 • e-0,35t •[cos(0,937t)?] + (С2 • e-0,35t)?• •sin(0,937t) + [sin(0,937t)?]• С2 • e-0,35t
y?(0) = ?0,35 С1 • e-0,35t cos(0,937t) ? 0,937sin(0,937t)• С1 • e-0,35t + [(?0,35С2 • e-0,35t • sin(0,937t)] + 0,937 cos(0,937t)• С2 • e-0,35t
y?(0) = cos(0,937t)•(?0,35 С1 • e-0,35t + 0,937С2 • e-0,35t ) -
? sin(0,937t)•(0,937С1 • e-0,35t + 0,35С2 • e-0,35t )
Подставляем t = 0:
y?(0) = cos(0,937•0)•(?0,35 С1 • e-0,35•0 + 0,937С2 • e-0,35•0 ) -
? sin(0,937•0)•(0,937С1 • e-0,35•0 + 0,35С2 • e-0,35•0 )
y?(0) = ?0,35C1 + 0,937C2
Зная y?(0) = 1 по условию и рассчитанное С1 = 1, получаем
?0,35 + 0,937C2 = 1
С2 = 1,44
Тогда окончательное решение линеаризованной системы для начальных условий y(0) = 1, ?(0) = 1 имеет вид
y(t) = e-0,35t • cos(0,937t) + 1,44e-0,35t • sin(0,937t)
График y(t) аналитического решения линеаризованной системы построен с помощью инструментов программы Microsoft Excel и приведен на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1. График y(t) аналитического решения линеаризованной системы
6. Выполнить численный расчет линеаризованной системы уравнений и получить график y(t) для начальных условий y(0)=1, ?(0)=1
Будем выполнять численный расчет линеаризованной системы
?? + 0,7y? + y + 1,6 = 0 (6.1)
Аналогично пункту 3 данной работы, расчёт будем выполнять методом Эйлера.
Итак, имеем уравнение
y?? = ? 0,7y? ? y ? 1,6
Приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка, для удобства заменив
y(t) = z
y?(t) = u
y??(t) = u?
Получаем уравнение первого порядка:
u? = ? 0,7u - z - 1,6
Зададим шаг интегрирования - расстояние h между узлами интегрирования - равным 0,01.
Согласно условию задания, z0 = y(0) = 1, u0 = y?(0) = 1.
Последовательные значения ui и zi , согласно методу Эйлера, будем вычислять по формулам
zi = ui-1•h + zi-1
ui = ui-1 + h•(? 0,5 ui-1 ? 0,1 ui-12 ? zi-1)
Находим:
1= u0 h+ z0 = 1•0,01 + 1 = 1,01
u1 = u0+ h•(? 0,7u0 - z0 ?1,6) = 1+0,01(?0,7•1?1?1,6) = 0,967
Аналогично проводим расчёты u2, u3, …, u100 и z2, z3, …, z100. Результаты расчётов, выполненных с помощью программы Microsoft Excel, приведены в таблице 6.1.
Для оценки погрешности используем правило Рунге: произведём аналогичные вычисления с шагом h/2=0,005. Результаты расчётов приведены в таблице 6.2. Погрешность вычисляем по формуле
maxi | zi(h) - z2i(h/2)| = | z50(h) - z100(h/2)| = |1,123-1,126| = 0,003
Таблица 6.1. Результаты численного расчёта линеаризованной системы методом Эйлера с шагом интегрирования 0,01.
uiziyihi1110,0100,96700000001,0100,9900,0110,93413100001,0200,9800,0120,90139538301,0290,9700,0130,86879550221,0380,9600,0140,83633368111,0470,9500,0150,80401221311,0550,9400,0160,77183336211,0630,9300,0170,73979936171,0710,9200,0180,70791241611,0780,9100,0190,67617469911,0850,9000,01100,64458835501,0920,8900,01110,61315549771,0990,8800,01120,58187821161,1050,8700,01130,55075855101,1100,8600,01140,51979854021,1160,8500,01150,48900017361,1210,8400,01160,45836541571,1260,8300,01170,42789620111,1310,8200,01180,39759443441,1350,8100,01190,36746199051,1390,8000,01200,33750071431,1430,7900,01210,30771242081,1460,7800,01220,27809889531,1490,7700,01230,24866189321,1520,7600,01240,21940314021,1540,7500,01250,19032433241,1560,7400,01260,16142713581,1580,7300,01270,13271318731,1600,7200,01280,10418409361,1610,7100,01290,07584143231,1620,7000,01300,04768675121,1630,6900,01310,01972156871,1640,6800,0132-0,00805262621,1640,6700,0133-0,03563437391,1640,6600,0134-0,06302224411,1630,6500,0135-0,09021483571,1630,6400,0136-0,11721077701,1620,6300,0137-0,14400872521,1610,6200,0138-0,17060736671,1590,6100,0139-0,19700541681,1580,6000,0140-0,22320161991,1560,5900,0141-0,24919474891,1530,5800,0142-0,27498360591,1510,5700,0143-0,30056702151,1480,5600,0144-0,32594385481,1450,5500,0145-0,35111299351,1420,5400,0146-0,37607335391,1380,5300,0147-0,40082388041,1350,5200,0148-0,42536354601,1310,5100,0149-0,44969135151,1260,5000,0150-0,47380632601,1220,4900,0151-0,49770752651,1170,4800,0152-0,52139403801,1120,4700,0153-0,54486497321,1070,4600,0154-0,56811947241,1010,4500,0155-0,59115670361,0960,4400,0156-0,61397586231,0900,4300,0157-0,63657617121,0840,4200,0158-0,65895688031,0770,4100,0159-0,68111726681,0710,4000,0160-0,70305663501,0640,3900,0161-0,72477431591,0570,3800,0162-0,74626966731,0500,3700,0163-0,76754207381,0420,3600,0164-0,78859094651,0340,3500,0165-0,80941572291,0270,3400,0166-0,83001586681,0190,3300,0167-0,85039086811,0100,3200,0168-0,87054024281,0020,3100,0169-0,89046353280,9930,3000,0170-0,91016030570,9840,2900,0171-0,92963015490,9750,2800,0172-0,94887269910,9660,2700,0173-0,96788758250,9560,2600,0174-0,98667447440,9470,2500,0175-1,00523306930,9370,2400,0176-1,02356308660,9270,2300,0177-1,04166427050,9160,2200,0178-1,05953638980,9060,2100,0179-1,07717923780,8950,2000,0180-1,09459263220,8850,1900,0181-1,11177641500,8740,1800,0182-1,12873045200,8630,1700,0183-1,14545463310,8510,1600,0184-1,16194887190,8400,1500,0185-1,17821310560,8280,1400,0186-1,19424729470,8160,1300,0187-1,21005142330,8040,1200,0188-1,22562549810,7920,1100,0189-1,24096954940,7800,1000,0190-1,25608362970,7680,0900,0191-1,27096781450,7550,0800,0192-1,28562220160,7420,0700,0193-1,30004691120,7300,0600,0194-1,31424208570,7170,0500,0195-1,32820788920,7030,0400,0196-1,34194450790,6900,0300,0197-1,35545214950,6770,0200,0198-1,36873104320,6630,0100,0199-1,38178143930,6490,0000,01100
Таблица 6.1. Результаты численного расчёта линеаризованной системы методом Эйлера с шагом интегрирования 0,005.
uiziyihi1110,00500,98350000001,0050,9950,00510,9670327