Нелинейная свободная система второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
5001,0100,9900,00520,95059854791,0150,9850,00530,93419768961,0200,9800,00540,91783046941,0240,9750,00550,90149717961,0290,9700,00560,88519811051,0330,9650,00570,86893355071,0380,9600,00580,85270378691,0420,9550,00590,83650910391,0460,9500,005100,82034978471,0500,9450,005110,80422611051,0550,9400,005120,78813836031,0590,9350,005130,77208681161,0630,9300,005140,75607173991,0660,9250,005150,74009341871,0700,9200,005160,72415211991,0740,9150,005170,70824811331,0780,9100,005180,69238166691,0810,9050,005190,67655304691,0850,9000,005200,66076251751,0880,8950,005210,64501034111,0910,8900,005220,62929677831,0940,8850,005230,61362208771,0980,8800,005240,59798652611,1010,8750,005250,58239034841,1040,8700,005260,56683380771,1070,8650,005270,55131715511,1090,8600,005280,53584063991,1120,8550,005290,52040450961,1150,8500,005300,50500900981,1170,8450,005310,48965438411,1200,8400,005320,47434087431,1220,8350,005330,45906872051,1250,8300,005340,44383816071,1270,8250,005350,42864943111,1290,8200,005360,41350276621,1310,8150,005370,39839839831,1330,8100,005380,38333655811,1350,8050,005390,36831747451,1370,8000,005400,35334137421,1390,7950,005410,33840848231,1410,7900,005420,32351902201,1430,7850,005430,30867321461,1440,7800,005440,29387127961,1460,7750,005450,27911343451,1470,7700,005460,26439989501,1490,7650,005470,24973087521,1500,7600,005480,23510658691,1510,7550,005490,22052724031,1520,7500,005500,20599304381,1540,7450,005510,19150420381,1550,7400,005520,17706092491,1560,7350,005530,16266340981,1560,7300,005540,14831185961,1570,7250,005550,13400647321,1580,7200,005560,11974744781,1590,7150,005570,10553497891,1590,7100,005580,09136926001,1600,7050,005590,07725048261,1600,7000,005600,06317883681,1610,6950,005610,04915451051,1610,6900,005620,03517768981,1610,6850,005630,02124855911,1610,6800,005640,00736730101,1610,6750,00565-0,00646590401,1620,6700,00566-0,02025087691,1610,6650,00567-0,03398744071,1610,6600,00568-0,04767542041,1610,6550,00569-0,06131464241,1610,6500,00570-0,07490493521,1610,6450,00571-0,08844612921,1600,6400,00572-0,10193805631,1600,6350,00573-0,11538055051,1590,6300,00574-0,12877344761,1590,6250,00575-0,14211658501,1580,6200,00576-0,15540980211,1570,6150,00577-0,16865294011,1570,6100,00578-0,18184584181,1560,6050,00579-0,19498835201,1550,6000,00580-0,20808031731,1540,5950,00581-0,22112158601,1530,5900,00582-0,23411200821,1520,5850,00583-0,24705143591,1510,5800,00584-0,25993972291,1490,5750,00585-0,27277672451,1480,5700,00586-0,28556229821,1470,5650,00587-0,29829630291,1450,5600,00588-0,31097859951,1440,5550,00589-0,32360905071,1420,5500,00590-0,33618752091,1410,5450,00591-0,34871387621,1390,5400,00592-0,36118798451,1370,5350,00593-0,37360971561,1350,5300,00594-0,38597894101,1340,5250,00595-0,39829553381,1320,5200,00596-0,41055936911,1300,5150,00597-0,42277032361,1280,5100,00598-0,43492827581,1250,5050,00599-0,44703310581,1230,5000,005100
График y(t) строим также в инструментах программы Microsoft Excel. Он представлен на рисунке 6.1.
Рисунок 6.1. Ломаные Эйлера для линеаризованной системы.
7. Построить фазовый портрет системы
Если уравнения системы представлены в нормальной форме, то вектор состояния системы однозначно определяет её состояние. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изображающей точкой. При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом.
Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Двухмерное фазовое пространство называется фазовой плоскостью.
Фазовая плоскость - это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют методом фазовой плоскости.
Рассмотрим общий порядок построения фазового портрета динамической системы
= ax + by
= cx + dy (1)
1.Выписать матрицу коэффициентов системы (1):
M = ,
найти её след tr M (a + d) и определитель матрицы det M (ad - bc)
2.Используя рисунок 7.1, определить тип особой точки.
3.Найти уравнения особых управлений = 0 и = 0.
y = ? x = ? x.
4.Если особая точка является седлом или узлом, то найти асимптоты, используя подстановку y = kx.
.Определить направление фазовых траекторий.
Кроме описанного выше способа определения типа особой точки, тип особой точки можно определить, зная корни характеристического уравнения.
В таблице 7.1 приведены временные характеристики, фазовые портреты и типы особых точек при различных корнях характеристического уравнения.
Рисунок 7.1. Зависимость типа особой точки от определителя и следа матрицы коэффициентов динамической системы.
Таблица 7.1. Временные характеристики, фазовые портреты и типы особых точек при различных корнях характеристического уравнения.
Итак, рассмотрим найденную в п.4 данной работы линеаризованную систему
u? + 0,7u + z + 1,6 = 0,
где z = y(t), u = z? = y?(t), u? = y??(t).
Запишем эквивалентную систему дифференциальных уравнений
= u
= ? 0,7u - z
(свободный член обнуляем).
. Записываем матрицу коэффициентов системы
M =
Определитель матрицы det M = 0•(?0,7) ? 1•(?1) = 1
След матрицы tr M = 0 + (?0,7) = ?0,7
. Поскольку определитель матрицы положителен, а след матрицы = ?0,7, и выполняется условие det M > (tr M / 2)2 , то особая точка является устойчивым фокусом (см. Рисунок 7.1).
Сравнивая с зависимостью особой точки от корней характеристического уравнения (л1,2 = ? 0,35 i • 0,937), можно подтвердить, что особая точка - устойчивый фокус.
. Уравнения особых направлений
y = ? x = ? 0/1 • x = 0
y = ? x = ? () • x = ?1,429x
Первую прямую фазовые траектории пересекают в вертикальном направлении, а вторую - в горизонтальном.
. Поскольку особая точка является устойчивым фокусом, то фазовые траектории направлены к точке (0;0). Необходимо выяснить, в каком направлении происходит закручивание фазовой траектории: по или против часовой стрелки.
Вычислим вектор скорости ( ; ) в точке (1;0).
u? =
Координаты вектора x = 0, у = ?0,7•0?1= ?1. Имеем вектор скорости (-1;1). Таким образом, вектор скорости направлен вверх, и, следовательно, спираль закручивается по часовой стрелке.
На рисунке 7.2 представлены графики прямых y = 0 и y = ?1,429x, на рисунке 7.3 представлены фазовые траектории устойчивого фокуса.