Нелинейная свободная система второго порядка
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
/p>
?3 = F(x1, x2, x3, t),
где x1 = x, x2 = ?, x3 = ?.
Аналогичное преобразование можно произвести и в том случае, когда система описывается несколькими уравнениями.
В общем случае уравнения управляемой системы можно представить в виде
?1 = f1 (x1, x2, …, xn, u1, u2,…, ur, t)
?2 = f2 (x1, x2, …, xn, u1, u2,…, ur, t)
…………………………………….
?n = fn (x1, x2, …, xn, u1, u2,…, ur, t)= h1 (x1, x2, …, xn, u1, u2,…, ur, t)= h2 (x1, x2, …, xn, u1, u2,…, ur, t)
…………………………………….= hm (x1, x2, …, xn, u1, u2,…, ur, t)
Здесь x1, x2, …, xn - фазовые координаты, или фазовые переменные; u1, u2,…, ur - управляющие параметры, или управления; y1, y2,…, ym - выходные переменные; t - время.
Уравнения, записанные в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной, называются нормальной формой Коши или просто нормальной формой.
В векторной форме приведённые уравнения принимают вид
? = f (x, u, t) , (1.2а)
? = h (x, u, t). (1.2б)
Здесь x называют фазовым вектором или вектором состояний, u - вектором управления или просто управлением, а также входной переменной или просто входом, y - выходным вектором или просто выходом. Множество всех векторов состояний (фазовых векторов) называют пространством состояний или фазовым пространством.
Уравнение (1.2а) называют уравнением состояний, а уравнение (1.2б) - уравнением выхода или уравнением наблюдений.
Если вход и выход системы являются скалярными величинами, то такие системы называют одномерными. Если хотя бы одна из указанных переменных является векторной, то такие системы называют многомерными.
Итак, разрешая заданное уравнение (1.1) относительно старшей производной, получаем:
?(t) = ? 0,5?(t) ? 0,1[ ?(t) ]2 ? y(t)
Положив y = x1, ? = x2, получим уравнения в нормальной форме:
?1 = x2,
?2 = ? x1 - 0,1- 0,5x2
y = x1
Полная модель объекта в пространстве состояний называется моделью вход-состояние-выход и содержит два уравнения - уравнение входа и выхода:
?(t) = A•x(t) + B•u(t)
y(t) = C•x(t) + D•u(t),
где через x(t) принято обозначать вектор состояния, через u(t) - вход объекта (сигнал управления), через y(t) - выход объекта.
2. Определить положение равновесия системы
Автономной системой для функций x(t), y(t) называется система дифференциальных уравнений
= P(x, y), = Q(x, y), (2.1)
где правые части не зависят от переменной t.
Пусть x = f(t), y = g(t) - решение (2.1).
Положением равновесия, или точкой покоя, автономной системы дифференциальных уравнений (2.1) называется её решение вида x = x0, y = y0.
Отметим, что траектория положения равновесия - точка, и P(x0, y0) = Q(x0, y0) = 0.
В простейшем случае, когда P, Q - линейны, т.е. P(x, y) = ax + by, Q(x, y) = cx + dy, где a, b, c, d - постоянные, система принимает вид
= ax + by, = cx + dy. (2.2)
Итак, находим положение равновесия системы
?1 = x2,
?2 = ? x1 - 0,1- 0,5x2
Здесь P(?1, ?2) = x2, Q(?1, ?2) = ? x1 - 0,1- 0,5x2.
Положение равновесия находим из системы уравнений
P(?1, ?2) = 0
Q(?1, ?2) = 0
Или
x2 = 0
? x1 - 0,1- 0,5x2 = 0
Решая её, находим
x2 = 0
x1 = 0
Таким образом, получаем положение равновесия M(0,0).
3. Выполнить численный расчет исходного нелинейного уравнения и получить график y(t) для начальных условий y(0) = 1, ?(0) = 1
Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах. На практике редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Для исследования и решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, используются численные методы решения задачи Коши.
Численное решение задачи Коши y? = f(x, y), y(a) = y0 на отрезке [a, b] состоит в построении таблицы приближенных значений y0, y1,…, yi,…, yN решения y = y(x), y(xi) ? yi в узлах сетки a = x0 < x1 < … < xi < … < xN = b.
Если xi = a + ih, h = (b - a)/N, то сетка называется равномерной.
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x0 + h используется информация о решении только в точке x0. Если же используются несколько предыдущих значений - многошаговым.
Методы, в которых для вычисления приближенного решения в очередном i-ом узле необходимо дополнительно решать некоторые уравнения (линейные или нелинейные), называются неявными методами. В противоположность этому методы, в которых приближенное решение в очередном i-ом узле явно выражается через предыдущие значения, называются явными методами.
Простейший одношаговый явный метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле yi+1 = yi + h•f(xi, yi) :
y? = f(x, y), y(a) = y0, x ? [a, b],= a + ih, h = (b - a)/N, i = 0, 1, 2, … , N,(xi) ? yi ,+1 = yi + h • f(xi, yi).
Для погрешности метода Эйлера на одном шаге справедлива оценка
max1?i?N | y(xi) ? yi| ? Ch2,
а для оценки погрешности решения на всём отрезке [a, b] справедливо
max1?i?N | y(xi) ? yi| ? C(|b?a|)•h
Для практической оценки погрешности удобнее всего использовать правило Рунге: производятся вычисления с шагом h - вычисляют значения y(h)i , затем производятся вычисления с половинным шагом h/2 - вычисляют значения y(h/2)i . За оценку погрешности с шагом h/2 принимают величину
maxi | yi(h) - y2i(h/2)|.
Если соединить точки (xi, yi) прямолинейными отрезками, получим ломаную Эйлера - ломаную л?/p>