Методические аспекты изучения понятия вероятности

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

менты (т. е. исходы эксперимента) ?1, ?2, …, ?n:

 

? = { ?1, ?2, …, ?n }.

 

Зададим на элементах множества ? неотрицательную числовую функцию р (?), для которой

 

 

р (?1) + р (?2) + … + р (?n) = 1 .

 

Эту функцию будем называть распределением вероятности (курсив авторов - И.В.) на ?, а пару (?,p) - вероятностным пространством.

Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества ?, а его вероятностью P(A) - сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события {?} будет сопоставленное ему число р (?) [21, с. 103].

Понятно, что свойства аксиоматической вероятности уже знакомы учащимся в процессе изучения классической и статистической вероятности:

.р (?1) + р (?2) + … + р (?n) = 1 - вероятность достоверного события равна единице.

2.Если события ?1, ?2, ?3, …- несовместны, то

 

р (?1 + ?2) = р (?1) + р (?2)

 

.р (Ш) = 0 - вероятность невозможного события равна нулю.

4.0 < Р(А) <1 - вероятность принимает значения из промежутка [0; 1].

Аналогия с классической и статистической вероятностями очевидна. Поэтому существенных затруднений усвоение данных свойств не вызывает.

Непривычным уровнем абстрактности в определении аксиоматической вероятности для школьников отличается понятие некоторой функции р (?), для которой заданы определенные условия. Во-первых, школьникам более привычным является представление функции в виде записи посредством буквенного обозначения через y и x - y = f (x), во-вторых, более привычно задание конкретной формулы, например y = 5x, y = x2, y = k/x и т. п.

Преодолеть это затруднение возможно посредством актуализации способа табличного представления функций, а, затем, приведения и детального анализа достаточного числа конкретных примеров. Данная актуализация совершенно необходима, так как табличное представление функций изучается школьниками в седьмом классе, а изучение аксиоматической вероятности осуществляется в силу ранее указанных причин, не ранее восьмого-девятого классов.

Нужно отметить, что, не актуализируя табличного представления функций, авторы указанного выше учебного пособия приводят значительное число иллюстрирующих примеров, позволяющих сформировать у школьников представление о функции р (?).

 

 

Заключение

 

Таким образом, необходимо сделать следующие выводы:

1.В курсе Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики имеются следующие способы определения вероятности: классическое; статистическое; геометрическое; аксиоматическое.

2.В существующих учебных пособиях имеют место такие последовательности изложения трактовок данного понятия:

1) статистическая классическая геометрическая аксиоматическая;

) классическая геометрическая статистическая;

) классическая статистическая геометрическая;

) классическая статистическая;

) статистическая классическая;

) статистическая классическая геометрическая.

3.Задачи, решаемые, в процессе изучения геометрической вероятности, в целом являются стандартными геометрическими задачами раздела планиметрии и не относятся к дополнительным или особо трудным разделам школьной геометрии и, соответственно, не вызывают существенных затруднений.

Изучение геометрической вероятности содействует:

1)реализации принципа наглядности в обучении математике. Это весьма важно для учащихся, в мыслительной деятельности которых наглядно-образный компонент является доминирующим;

2)интеграции курсов планиметрии и теории вероятностей, что ведет к более глубокому пониманию изучаемого материала и реализации внутрипредметных связей курса математики в целом.

4.Формирование аксиоматического понятия вероятности необходимо на профильном уровне подготовки учащихся в процессе обучения математике.

Изучение аксиоматической вероятности способствует:

1)достижению основных требований к уровню подготовки выпускников в процессе обучения математике. В результате изучения математики ученик должен понимать: роль аксиоматики в математике, возможность построения математических теорий на аксиоматической основе, значение аксиоматики для других областей знания и для практики (профильный уровень); универсальный характер математики, широту применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

2)реализации основных целей обучения математике: формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки и части общечеловеческой культуры;

)формированию научного мировоззрения учащихся, а также реализации концепций гуманизации, гуманитаризации и фундаментализации математического образования в процессе обучения.

5.В процессе обучения более целесообразной является такая последовательность изложения основных трактовок понятия вероятность: классическая статистическая геометрическая аксиоматическая, так как:

1)наиболее тривиальной и узкой является классическая трактовка вероятности. Ей присущи наименьшие сложность и трудность процесса формирования и овладения данным понятием;

2)статистическое определение вероятности отличается от классического существенно большей универсальностью применения, а на ее основе возможно оперирование не только вероятностными, но и статистическими категориями. Соответственно, логичное и посл