Методические аспекты изучения понятия вероятности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
приложений в будущей профессиональной деятельности.
Не случайно даже в образовательных стандартах, раскрывающих особенности изучения теории вероятностей в вузе доминирующим требованием является необходимость изучения аксиоматической трактовки понятия вероятности.
Потому целесообразность изучения аксиоматической вероятности не вызывает сомнений, а в процессе профильного обучения ее изучение является попросту обязательным.
Формирование понятий классической, статистической и геометрической вероятности не представляет существенных затруднений и осуществляется в соответствии с известными этапами формирования математических понятий: мотивация изучения понятия; выделение существенных свойств понятия; усвоение логической структуры определения понятия; применение понятия; установление связей изучаемого понятия с другими понятиями.
Наиболее нетривиальным является формирование аксиоматического понятия вероятности. Даже самый первый этап (мотивация) может вызвать недоумение: с чего начать? Ответом на этот вопрос является сообщение, беседа, рассказ об аксиоматическом строении математики, игр, музыки и многих других областей деятельности человека. В лаконичной форме иллюстрирует суть этого содержание таблицы (табл. 3).
Таблица 3
Область деятельности человекаОсновные неопределяемые понятияАксиомы, принципы построения теорииРазвертывание теории области деятельностиМатематикаГеометрия Евклида1) точка; 2) прямая; 3) плоскость; и др.1) через любые две точки проходит прямая и притом только одна; 2) через точку, не лежащую на прямой проходит только одна прямая параллельная данной; 3) из трех точек лежащих на одной прямой одна и только одна лежит между двумя другими; и др.Все многообразие совокупности понятий и теорем геометрии ЕвклидаАлгебра1) число; 2) множество; и др.1) a+b=b+a; 2) a+(b+c)=(a+b)+c; 3) a•(b•c)=(a•b); и др.Вся совокупность понятий алгебры действительных чисел, теорем, лемм и др.ИгроваяШашки1) фигуры (шашка, дамка); 2) поле с клетчаткойисходная расстановка фигур; правила движения фигур; 3) видоизменения фигур (превращения); 4) правила уничтожения фигур противникаРазличные варианты комбинаций, игровых ситуаций, выводимых дедуктивноШахма-ты1) фигуры (король, ферзь, пешка, ладья, конь, слон); 2) поле с клетчаткойДоминоФигуры (28 пластинок, на которых нанесено число очков)Музыкальная1) высота; 2) длительность; 3) громкость; 4) тембр; 5) нотный стан1) законы построение аккордов по терциям; 2) построение музыкальных мелодий по законам гармонии; 3) местоположение каждого аккорда; 4) разрешение неустойчивых нот в устойчивые; 5) закон Вебера-Фехнера - чувственное восприятие пропорционально логарифму раздражителя: loga b+c; и др.Все многообразие гармонических сочетаний звуков и мелодий. Всего 10100 сочетаний семи нот в определенном темпе и порядке, различной громкости и частоты
Любая математическая теория основана на первичных, исходных, неопределяемых понятиях и правилах их взаимодействия - аксиомах, принципах, постулатах. Например, в геометрии Евклида такими понятиями являются точка, прямая, плоскость, а правила их взаимодействия определяются аксиомами евклидовой геометрии. Все многообразие геометрических понятий, теорем, лемм, формул и т.д. выводится на основе правил вывода (математической логики) из исходных понятий и аксиом.
Эти факты имеют иллюстрирующий классический пример, основанный на использовании игр, знакомых школьникам.
Роль исходных понятий геометрии выполняют в данном примере фигуры, участвующие в игре (шашка, дамка) и поле игры - игровая доска размером 8х8 (10х10), а также связывающие эти фигуры правила игры (аксиомы геометрии, принципы) - как ходят фигуры, как преобразуются шашки, достигнув конца поля, как бьют фигуры противника. Все многообразие игровых ситуаций, которое получается из исходной расстановки фигур по правилам игры, есть аналог всему многообразию теории геометрии - геометрических понятий, теорем и т. д.
Аналогичен пример и в такой области деятельности человека, как музыка.
Не случайно отмечал профессор, композитор, заслуженный деятель искусств Мордовии Гавриил Вдовин, что музыка - это математика, что есть семь нот, которые можно сочетать в различном темпе и порядке, с различной громкостью, а число таких сочетаний - 10100 (гугол).
То есть, исходными понятиями музыки являются высота, длительность, громкость, тембр и др. Правилами (аксиомами), которые связывают исходные музыкальные понятия, являются законы построения аккордов по терциям, построение музыкальных мелодий по законам гармонии и др. А все многообразие сочетаний, полученных из исходных понятий в соответствии с образным выражением композитора Г. Вдовина, представляет собой совокупность (10100) всевозможных гармонических (приятных) и энгармонических (режущих слух) звуков.
Далее, в процессе следующих этапов формирования понятия аксиоматической вероятности, целесообразно ограничиться конечным случаем ? - множества всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Поскольку корректное оперирование бесконечными совокупностями (или последовательностями, рядами) требует специальных знаний, умений и навыков. Именно так и поступили авторы учебного пособия (Е.А. Бунимович, В.А. Булычев), которые ограничились самой элементарной интерпретацией аксиоматической вероятности:
Пусть ? - множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Будем считать, что множество ? конечно, и обозначать его эле