Методические аспекты изучения понятия вероятности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?сиома полноты.
2.0 < Р(А) <1 - вероятность принимает значения из промежутка [0; 1].
Пара (?, р (?) ) называется вероятностным пространством. Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества ?i, а его вероятностью Р(А) - сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события ?k будет сопоставленное ему число р (?k).
Возможно определение аксиоматической вероятности и без явного использования понятия функции.
Это выполняется следующим образом [22].
Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления. Она удовлетворяет аксиомам вероятности:
1. Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число р, которое называется вероятностью события А: Р(А) = р ? 0, где AS, S ?.
. Если события А1 , А2, ..., Ап несовместны, то верно равенство:
Р(А1 + А2 +...+ Ап) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Ап), где AS (i = l,2,...,n ), S
?.
. Р(?)=1, где ? - истинное (достоверное) событие.
Пространство элементарных событий ? с заданной в нем алгеброй S (или ?-алгеброй) и определенной на S вероятностью - неотрицательной мерой Р(А), AS называется вероятностным пространством и обозначается (?, S, Р). Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей.
Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность, поэтому для решения задач целесообразно использовать подходы к определению вероятности, которые перечислены выше.
. Последовательности изложения трактовок понятия вероятность в учебных пособиях
В существующих учебных пособиях имеют место такие последовательности изложения данных понятий:
) статистическое классическое геометрическое аксиоматическое (Е.А. Бунимович, В.А. Булычев);
) классическое геометрическое статистическое (Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий и др.);
) классическое статистическое геометрическое (М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова);
) классическое статистическое (А.Г. Мордкович, П.В. Семенов);
) статистическое классическое (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк).
) статистическое классическое геометрическое (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева).
Как видим, имеется значительное разнообразие не только в трактовках вероятности, но и в различных последовательностях формирования понятия вероятности.
Во-первых, заметим, что фактически ни в одном учебном пособии не используется лишь одна какая-либо трактовка понятия вероятности. Понятно, что применения одной трактовки вероятности не достаточно для раскрытия всех основных аспектов данного феномена.
Наиболее тривиальной и узкой является классическая трактовка вероятности. Ей присущи наименьшая сложность и трудность процесса формирования и овладения данным понятием. Не случайно, что именно данная трактовка используется в процессе изучения элементов стохастики школьниками начальных классов (С.И. Воробьева). Поэтому, в соответствии с дидактическими принципами доступности, систематичности и последовательности обучения, более целесообразно начать изучение с наиболее простого учебного материала, продвигаясь далее к более сложному.
Статистическое определение вероятности отличается от классического существенно большей универсальностью применения. Оно фактически является родовым понятием для классического, поскольку является более широким понятием, содержащим классическое. Классическая вероятность - частный случай статистической вероятности. С достаточной мерой условности соотношение между основными трактовками понятия вероятности схематически можно изобразить следующим образом (рис. 3). Все три указанные вероятности на рисунке обобщаются и математически моделируются аксиоматической вероятностью. Геометрическая вероятность - геометрическая интерпретация классической и статистической вероятности посредством отношения площадей фигур.
вероятность трактовка аксиоматический геометрический
Рис. 3.
Область статистической вероятности применимости весьма широка. Само по себе название статистическая вероятность говорит уже о том, что на ее основе возможно оперирование не только вероятностными, но и статистическими категориями.
Поэтому, резюмируя сказанное выше, дальнейшее логичное и последовательное расширение понятия классическая вероятность целесообразно осуществить в процессе изучения статистической вероятности.
3. Задачи, решаемые, в процессе изучения геометрической вероятности
Как уже отмечено выше, геометрическая вероятность является интерпретацией классической и статистической вероятности посредством отношения площадей геометрических фигур. Понятно, что нахождение данного отношения требует сформированной совокупности умений вычислять площади фигур, по крайней мере, курса планиметрии. Это значительный и важный раздел планиметрии. Поэтому, понятно, почему некоторые авторы (М.В. Ткачева, Е.Н. Федорова) учебных пособий курса теории вероятностей и математической статистики относят изучение геометрической вероятности к трудным (отмечают звездочкой этот параграф) или дополнительным разделам данного курса.
Между тем, сам по себе этот геометрический раздел не относят к дополнительным или особо трудным разделам школьного курса геометрии. Многие задачи, решаемые, в этом разделе являются с