Методические аспекты изучения понятия вероятности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Не менее важна информация о встречаемости букв для лингвистов и шифровальщиков. Известны методы восстановления исходного текста по перехваченному зашифрованному тексту, при которых используется таблица встречаемости букв. Таблицу встречаемости букв, знаков препинания и другие статистические характеристики текста можно использовать и для выяснения вопроса об авторстве.
Так, учащимся предлагается несколько отрывков текста из произведений А.С. Пушкина. Подсчет количества букв в этих отрывках позволяет учащимся, обобщая полученные результаты, составить соответствующую таблицу (Табл. 1).
В длинной серии экспериментов (например, поиск буквы О в произведениях данного автора) со случайными исходами значения относительных частот близки к некоторому определенному числу. Это число принимают за вероятность данного случайного события:
Р(О) = 110 / (75 + 17 + 46 + 16 + 30 + 87 + 9 + 18 + 75 + 12 + 34 + 42 + 31 + 65 + 110 + 28 + 48 + 55 + 65 + 25 + 2 + 115 + 15 + 7 + 4 + 1 + 19 + 16 + 3 + 7 + 22) = 110 / 1099 ? 0,1.
Таким образом, вероятность случайного события приближенно равна его относительной частоте, полученной в длинной серии экспериментов. Чем больше число проведенных экспериментов, тем точнее оценивается вероятность события по его частоте.
Геометрическое определение: вероятность - это отношение площади события В ко всей площади области А, где случайно выбирается точка. В целом геометрическую вероятность можно соотнести и с длиной, и с площадью, и с объемом. То есть Р (А) = ?А / ? ; Р (А) = SА / S ; Р (А) = VА / V - в зависимости от того, где лежат точки, соответствующие исходам эксперимента - на линии, на плоскости или в трехмерном пространстве.
Пусть в некоторой области А (рис. 1) случайно выбирается точка (точку наудачу бросают в фигуру А на плоскости.). Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в любую подобласть В будет равна отношению площадей Р(В) = S(B) / S(A).
Если возникает вопрос: какова вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру В, которая содержится в фигуре А? То ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение бросить точку. Обычно это выражение трактуют так: 1) брошенная точка может попасть в любую часть фигуры А; 2) Вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру В внутри фигуры А, прямо пропорциональна площади фигуры В.
Таким образом, пусть S(B) и S(A) - площади фигур B и A. Вероятность события точка X принадлежит фигуре B, которая содержится в фигуре A, равна Р(В) = S(B) / S(A).
Если фигура имеет нулевую площадь, то вероятность попадания точки в эту фигуру равна нулю. Например, вероятность попадания в точку или на отрезок будет нулевая.
Так, например, пусть из треугольника ABC случайным образом выбирается точка X. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.
Средние линии разбивают треугольник ABC на четыре равных треугольника, площадь каждого из которых обозначим через S (рис. 2). Стороны данных треугольников в два раза меньше исходного треугольника, а площади соответственно пропорциональны с коэффициентом k2 = 22 = 4 (треугольники подобны по трем пропорциональным сторонам). Тогда площадь треугольника ABC в четыре раза больше каждого из получившихся треугольников. Событие, заданное в условии задачи, заключается в том, что точка X принадлежит треугольнику LMN.
Вероятность искомого события:
LMN / S АВС = 1/4.
Еще пример. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [-100; 100], принадлежит отрезку [1/100; 1/2].
Исходя из смысла геометрической вероятности, найдем
Р(1/100 ? х ? 1/2) = ( 1/2 - 1/100 ) / (100 - (- 100) ) = 0,49 / 200 = 0,00245
Необходимо заметить, что только классическое и геометрическое определения вероятности позволяют точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. В свою очередь, частотное определение наполняет классическое и геометрическое определения реальным смыслом: именно к указанным в них априорным величинам будет стремиться частота в статистических экспериментах (если, конечно, выбранная модель соответствует реальной ситуации) [21, с. 102].
Аксиоматическое определение вероятности обобщает представленные выше определения. Аксиоматическое определение вероятности связано с именем российского математика А.Н. Колмогорова (начиная с 1933 г.).
Пусть ? - множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Если множество ? конечно, то обозначим его элементы (исходы эксперимента) ?1, ?2, … ?n . Если множество ? бесконечно, то ?1, ?2, ?3, Таким образом, множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента ? = { ?1, ?2, …, ?n } (если множество ? конечно). ? = { ?1, ?2, ?3, … } (если множество ? бесконечно).
Зададим [21] на элементах множества ? числовую функцию р (?), которая называется распределением вероятности на ?, для которой выполнены условия (аксиомы):
1)р (?i) ? 0, для всех ?i - значения функции р (?i) являются неотрицательными.
2)р (?1) + р (?2) + р (?3) + … = р (?) = 1 - вероятность достоверного события равна единице.
)Если события ?1, ?2, ?3, …- несовместны, то р (?1 + ?2 + ?3 + …) = р (?1) + р (?2) + р (?3) + … - аксиома счетной аддитивности.
Понятно, что введенное таким образом определение вероятности обладает и следующим свойствами:
1.Функция р (?i) определена для любых подмножеств множества нулевой вероятности: р (Ш) = 0 - вероятность невозможного события равна нулю - а?/p>