Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ливо по крайней мере одно из неравенств или . Тогда
Аналогично, при справедливо хотя бы одно из неравенств или и
или
Откуда
Если , то для сколь угодно малого существует такое , что при всех
Тогда
С другой стороны, если точка непрерывности , то можно найти такое , что для сколь угодно малого
и
Значит для сколь угодно малых и существует такое , что при
или
или, что то же самое,
Это означает, что во всех точках непрерывности имеет место сходимость и . Следовательно, из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость.
Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Чтобы убедиться в этом, возьмем последовательность случайных величин , не равных с вероятностью 1 постоянным и имеющих одну и ту же функцию распределения . Считаем, что при всех величины и независимы. Очевидно, слабая сходимость имеет место, так как у всех членов последовательности одна и та же функция распределения. Рассмотрим :
Из независимости и одинаковой распределенности величин следует, что
то есть
Выберем среди всех функций распределений невырожденных случайных величин такую , будет отлично от нуля при всех достаточно малых . Тогда не стремится к нулю при ограниченном росте и сходимость иметь место не будет.
. Пусть имеет место слабая сходимость , где с вероятностью 1 есть постоянная, доказать, что в этом случае будет сходится к по вероятности.
Решение. Пусть с вероятностью 1 равно . Тогда слабая сходимость означает сходимость при любых . Так как , то при и при . То есть
любого вероятности
стремятся к нулю при .
2.2 Решение задач на законы больших чисел
Задача 1. Пусть - последовательность независимых случайных величин,
Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
Решение. Для того, чтобы к последовательности этих случайных величин была применена теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.
Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.
Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:
.
Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное 0) математическое ожидание, т.е. второе требование теоремы выполняется.
Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий.
Напишем закон распределения :
0, Р
или, сложив вероятности одинаковых возможных значений,
0
Р
Найдем математическое ожидание :
.
Найдем дисперсию , учитывая, что:
Таким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом т.е. третье требование выполняется.
Поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин ЗБЧ применим.
Задача 2. Случайная величина имеет треугольное распределение с плотностью
причем. Применим ли к последовательности закон больших чисел (случайные величины считать независимыми).
Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины :
.
Рассмотрим величину :
при .
Таким образом, по теореме Маркова закон больших чисел применим.
Задача 3. Пусть - последовательность независимых случайных величин, причем имеет плотность распределения
.
Удовлетворяет ли эта последовательность закону больших чисел в форме Чебышева?
Решение. Для того чтобы к последовательности этих случайных величин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.
Поскольку случайные величины независимы, то они и так являются попарно независимыми, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.
Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:
Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное математическое ожидание (равное 0), т.е. второе требование теоремы выполняется.
Проверим выполнение требования равномерной ограниченности дисперсии:
,
запишем степень , а выражение преобразуем как , тогда:
Возвращаясь к обратной замене и подставляя все в исходное выражение получим:
.
2.3 Проверка гипотезы критерием w2 Мизеса
Дана выборка из 100 случайных чисел, имеющих простейшее нормальное распределение (выборка получена с помощью функции Random Real в пакете Mathematica 7.0).
= {-2.743,-2.53,-2.424,-2.333,-2.243,-2.084,-1.78,-1.615,-1.57,-1.471,-1.466,-1.4,-1.315,-1.129,-1.103,-0.978,-0.965,-0.947,-0.945,-0.85,-0.839,-0.833,-0.787,-0.706,-0.693,-0.671,-0.67,-0.654,-0.516,-0.494,-0.462,-0.419,-0.419,-0.372,-0.354,-0.344,-0.275,-0.234,-0.206,-0.187,-0.177,-0.173,-0.144,-0.098,-0.05,-0.033,0.016,0.018,0.036,0.049,0.105,0.109,0.192,0.2,0.234,0.237,0.276,0.287,0.287,0.287,0.304,0.311,0.398,0.475,0.486,0.488,0.532,0.571,0.604,0.672,0.705,0.743,0.757,0.776,0.782,0.797,0.854,0.867,0.874,0.879,0.885,0.891,0.894,0.926,0.935,0.968,0.97,1.086,1.175,1.197,1.251,1.261,1.284,1.384,1.498,1.5,1.555,1.683,2.376,3.063,3.085}
С помощью критерия согласия омега-квадрат Мизеса на уровнях диаг