Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
даментальна с вероятностью единица.
Доказательство.
Если , то +
откуда вытекает необходимость условия теоремы. Пусть теперь последовательность {} фундаментальна с вероятностью единица. Обозначим L = {: { () } не фундаментальная}. Тогда для всех числовая последовательность {} является фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых последовательностей, существует (). Положим
() =
Так определенная функция является случайной величиной и . Теорема доказана.
1.1.2 Метод характеристических функций
Метод характеристических функций является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наряду со случайными величинами (принимающими действительные значения) теория характеристических функций требует привлечения комплекснозначных случайных величин.
Многие из определений и свойств, относящихся к случайным величинам, легко переносятся и на комплексный случай. Так, математическое ожидание М? комплекснозначной случайной величины ?=?+?? считается определенным, если определены математические ожидания М? и М?. В этом случае по определению полагаем М? = М? + ?М?. Из определения независимости случайных элементов следует, что комплекснозначные величины ?1 =?1+??1, ?2=?2+??2 независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин (?1, ?1) и (?2, ?2), или, что то же самое, независимы ?-алгебры F?1, ?1 и F?2, ?2.
Наряду с пространством L2 действительных случайных величин с конечным вторым моментом можно ввести в рассмотрение гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин ?=?+?? с М |?|2<?, где |?|2= ?2+?2, и скалярным произведением (?1, ?2) = М?1?2, где ?2 - комплексно-сопряженная случайная величина.
При алгебраических операциях векторы Rn рассматриваются как алгебраические столбцы,
,
- как вектор-строки, a* - (а1, а2,…, аn). Если Rn, то под их скалярным произведением (a,b) будет пониматься величина . Ясно, что
Если аRn и R=||rij|| - матрица порядка nхn, то
=. (1.1.1)
теория вероятность статистическая гипотеза
Определение 1. Пусть F = F (х1,…., хn) - n-мерная функция распределения в (, ()). Ее характеристической функцией называется функция
. (1.1.2)
Определение 2. Если ? = (?1,…,?n) - случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве со значениями в , то его характеристической функцией называется функция
(1.1.3)
где F? = F? (х1,…., хn) - функция распределения вектора ?= (?1, …, ?n).
Если функция распределения F (х) имеет плотность f = f (х), то тогда
.
В этом случае характеристическая функция есть не что иное, как преобразование Фурье функции f (x).
Из (1.1.3) вытекает, что характеристическую функцию ?? (t) случайного вектора можно определить также равенством
. (1.1.4)
Основные свойства характеристических функций (в случае n=1).
Пусть ? = ? (?) - случайная величина, F? = F? (х) - её функция распределения и - характеристическая функция.
Следует отметить, что если , то .
Поэтому
. (1.1.5)
Далее, если ?1, ?2, …, ?n - независимые с.В. И Sn= ?1+?2 +… + ?n, то
(1.1.6)
В самом деле, ,
где воспользовались тем, что математическое ожидание произведения независимых (ограниченных) случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство (1.1.6) является ключевым при доказательстве предельных теорем для сумм независимых случайных величин методом характеристических функций. В этой связи, функция распределения выражается через функции распределения отдельных слагаемых уже значительно более сложным образом, а именно, где знак * означает свертку распределений. С каждой функцией распределения в можно связать случайную величину, имеющую эту функцию в качестве своей функции распределения.
Поэтому при изложении свойств характеристических функций можно ограничиться рассмотрением характеристических функций случайных величин .
Теорема 1. Пусть ? - случайная величина с функцией распределения F=F (х) и - ее характеристическая функция.
Имеют место следующие свойства:
)|
) равномерно непрерывна по ;
);
) является действительно значной функцией тогда и только тогда, когда распределение F симметрично
();
)если для некоторого n ? 1 , то при всех существуют производные и
,
где и
)Если существует и является конечной , то
)Пусть для всех n ? 1 и
тогда при всех |t|<R
Следующая теорема показывает, что характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения.
Теорема 2 (единственности). Пусть F и G - две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию, то есть для всех
Тогда .
Теорема говорит о том, что функция распределения F = F (х) однозначно восстанавливается по своей характеристической функции . Следующая теорема дает явное представление функции F через .
Теорема 3 (формула обобщения). Пусть F = F (х) - функция распределения и - ее характеристическая функция.
А) Для любых двух точек a, b (a < b), где функция F = F (х) непрерывна,
) Если то функция распределения F (х) имеет плотность f (x),
.
Теорема 4. Для того чтобы компоненты случайного вектора были независимы, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция была произведением характеристических функций компонент:
.
Те