Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
, то отвергают основную гипотезу и принимают альтернативную гипотезу ;
)если выборка не принадлежит критическому множеству , т.е. принадлежит дополнению множества до выборочного пространства , то отвергают альтернативную гипотезу и принимают основную гипотезу .
При использовании любого критерия возможны ошибки следующих видов:
1)принять гипотезу , когда верна - ошибка первого рода;
)принять гипотезу , когда верна - ошибка второго рода.
Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают и :
где - вероятность события при условии, что справедлива гипотеза . Указанные вероятности вычисляют с использованием функции плотности распределения случайной выборки :
Вероятность совершения ошибки первого рода также называют уровнем значимости критерия.
Величину , равную вероятности отвергнуть основную гипотезу , когда она верна, называют мощностью критерия.
1.2.3 Критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза
1. Пусть задана выборка наблюдения X1,X2,………, Xn одномерной случайной величины с функцией распределения F (x). Будем проверять гипотезу Н0: F (x) =G (x), где G (x) - заданная обычная функция распределения. Статистику wn2 в этом случае запишем в виде
(1.2.1)
Здесь
(1.2.2)
Если G (x) - непрерывная функция распределения, то преобразуем исходную выборку X1,X2,………, Xn к выборке t1,t2,………, tn. Полученная выборка в случае справедливости гипотезы Н0 будет иметь равномерное на [0,1] распределение, а статистика wn2 принимает вид
(1.2.3)
Где Fn (x) обозначает эмпирическую функцию распределения, построенную по выборке t1,t2,………, tn. Распределение статистики (1.2.3) не зависит от G (x).
Пусть t1?,………, ?tn - упорядоченная выборка t1,………, tn. При вычислении статистики wn2 вместо (1.2.3) удобно пользоваться следующим выражением,
Легко полученным из (1.2.3)
, (1.2.4)
где
,
Отметим два частных случая. При (t) =1 статистика wn2 будет обозначаться через Wn2 и называться статистикой Смирнова, а при (t) =1 [t (1-t)] статистика обозначается через An2. Последняя статистика называется статистикой Андерсона-Дарлинга. Значение этих статистик можно вычислить по формулам, следующих из (1.2.4)
,
(1.2.5)
Распределение статистики wn2 сходится к предельному при условии, что
(1.2.6)
Предельное распределение статистики совпадает wn2 совпадает с распределением случайной величины
где - гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием
и корреляционной функцией К (t,?) =? (t) ? (?) (min (t,?) - ?). Собственные функции и собственные значения линейного интегрального оператора с ядром К (t,?) при ? (t) =1 есть ?t= (?i) 2 и hi (t) =v2sin ?it.
Характеристическая функция предельного распределения статистики Wn2 имеет вид
.
При ? (t) = [t (1-t)] - 1 собственное значение ядра К (t,?) есть 1/ [t (1-t)].
И характеристическая функция статистика Андерсона-Дарлинга есть
.
1.В качестве примера критерия wn2 промежуточного между классическим критерием wn2 и критерием согласия, основанном на интеграле от квадрата разности между оцененной и теоретической функциями плотности, рассмотрим следующий критерий.
2. Преобразуем исходную выборку к новой выборке с фиксированной теоретической обычной функцией распределения Ф (х) с положительной плотностью при всех х (-,). Выберем в качестве множеств порождающих функцию распределения, множества
Вх = (х-?, х) ?>0.
По новой функции F (x) =Ф (х) - Ф (х - ?) однозначно восстанавливается исходная функция распределения. Предельное распределение статистики wn2 будет
где ? (х) - гауссовский процесс.
. Обратимся к рассмотрению статистики wn2 вида (1.2.1) при малых выборках.
Не трудно из геометрических соображений, используя (1.2.5) получить
точное выражение для функции распределения статистики W2n при n=2. Применение этого метода при больших значениях n затруднительно.
При больших значения n могут использоваться асимптотические разложения для фn (t).
4. Рассмотрим результаты относящиеся к асимптотической
мощности критерия wn 2. Сначала рассмотрим случай фиксированных альтернатив. При фиксированном альтернативном распределении вероятность отвергнуть гипотезу при заданном уровне значимости c ростом n стремится к 1. Поэтому мы рассмотри статистику wn2 вида (1.2.2), нормированную нормальным образом.
Пусть истинная функция распределения наблюдений есть G (t), причем функция ? (t) = t-G (t) не равна тождественно 0.
Пусть dn= (wn2/v n) - ?,
Тогда
(1.2.7)
Второе согласие в правой части (1.2.7) стремится к нулю по вероятности А, случайный процесс ? (t) (G (t) - Gn (t)) слабо сходится в L2 к гауссовкому случайному процессу с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией
Следовательно dn имеет ассимптотическое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией