Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
орема Бохнера - Хинчина. Пусть - непрерывная функция, Для того, чтобы была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно-определенной, то есть для любых действительных t1, …, tn и любых комплексных чисел
.
Теорема 5. Пусть - характеристическая функция случайной величины .
А) Если для некоторого , то случайная величина является решетчатой с шагом , то есть
где а - некоторая константа.) Если для двух различных точек , где - иррациональное число, то случайная величина ? является вырожденной:
,
где а - некоторая константа.) Если , то случайная величина ? вырождена.
1.1.3 Закон больших чисел
Пусть xn - последовательность случайных величин, для которых существуют Мxn. Законом больших чисел называются теоремы, утверждающие, что разность
сходится к нулю по вероятности.
Теорема Чебышева. Пусть xn - последовательность независимых случайных величин, Мxn=a, Dxn ? c. Тогда
Доказательство. Докажем даже больше, что в среднеквадратическом. Так как , то на основании свойств последовательностей сходящихся по вероятности [Для того, чтобы последовательность xn сходилась в среднеквадратическом к некоторой постоянной с, необходимо и достаточно, чтобы ], для доказательства теоремы достаточно показать, что . Вследствие независимости величин xk
Следствие. Пусть - последовательность независимых случайных величин такая, что
, n=1, 2, …
Тогда для каждого x > 0
Этот частный случай теоремы Чебышева дает обоснование правилу среднего арифметического в теории обработки результатов измерений.
Предположим, что нужно измерить некоторую физическую величину а.
Повторив измерения n раз в одинаковых условиях, наблюдатель получает результаты измерений
В качестве приближенного значения а принимается среднее арифметическое результатов измерений
.
Если наблюдения лишены систематической ошибки, т.е. Мxn = а, то согласно сформулированному выше следствию,
Теорема Хинчина. Если {xn} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, то закон больших чисел к такой последовательности применим и без предположения о существовании дисперсий. Имеет место следующее утверждение.
Теорема Хинчина. Пусть {xn} - последовательность независимых одинаково распределенных величин, имеющих конечное математическое ожидание Мxn = а. Тогда для каждого ? > 0
Теорема Бернулли. Рассмотрим еще один частный случай теоремы Чебышева. Пусть имеем последовательность испытаний, в каждом из которых может быть два исхода - успех У (с вероятностью р) или неудача Н (с вероятностью q=1-р) независимо от исходов других испытаний. Образуем последовательность случайных величин следующим образом. Пусть xk = 1, если в k-м испытании произошел успех, и xk = 0, если в k-м испытании произошла неудача. Тогда {xk} есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Мxn = р, . Случайная величина
представляет собой частоту появления успеха в первых п испытаниях. Так как для последовательности {xk} выполнены условия теоремы Чебышева, то мы из теоремы Чебышева получаем следующее утверждение.
Теорема Бернулли. Для любого ? > 0 при .
Смысл этого утверждения состоит в том, что введенное нами определение вероятности соответствует интуитивному пониманию вероятности как предела частоты.
Многочлены Бернштейна. Закон больших чисел можно использовать для доказательства известной из курса математического анализа теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.
Предположим, что производятся независимые испытания, в каждом из которых может произойти либо событие А (успех) с вероятностью х, либо противоположное событие (неудача) с вероятностью 1 - х (0 < х < 1). Пусть - число появлений А при п испытаниях, a f (х) - непрерывная функция на [0, 1]. Как известно,
.
Поэтому
(1.1.7)
Многочлен Вп (х) называется многочленом Бернштейна для функции f (x).
Выше мы отметили, что . Естественно ожидать, что при . Докажем следующее утверждение.
Теорема Бернштейна. Последовательность многочленов Вn (х), определенных равенством (1.1.7), сходится к функции f (х) равномерно относительно х [0, 1].
Так как f (х) равномерно непрерывна на [0,1], то для каждого ? > 0 найдется такое, что , как только . Функция f (x) ограничена на [0,1]. Поэтому существует такая постоянная С, что |f (x) |? C для всех х [0,1]. Заметим также, что
Поэтому
и имеем далее
Вследствие неравенства Чебышева,
Пусть такое, что . Тогда при
при всех х [0,1]. Теорема доказана.
1.2 Проверка статистических гипотез
1.2.1 Основные задачи математической статистики их краткая характеристика
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - результатах наблюдений. Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений. Вторая задача математической статистики - разработать методы анализа статистических данных, в зависимости от целей исследования.
При решении