Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Статистики wn2 при фиксированных альтернативах рассматривал Чепмен.
. Теперь будем рассматривать случай, когда альтернативные распределения
изменяются с ростом n следующим образом
Тогда
, , (1.2.8)
а G0 (x) и? (t) - непрерывные функции. При этих условиях и при условии (1.2.6) предельное распределение статистики wn2 совпадает с распределением случайной величины
,
где ? (t) - гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожидание и корреляционной функцией
.
Пусть ?i и ?i (t) i=1,2……. - собственные значения и собственные функции корреляционного оператора с ядром К (t,?).
Обозначим
, k=1, 2…
Тогда предельное распределение статистики при рассматриваемых альтернативах может быть представлена квадратичной формой
где хi, i=1,2. - независимо одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины.
Характеристическая функция Q есть
(1.2.9)
где
а D (?) - определитель Фредгольма ядра К (t,?). При выводе этой формулы используется формула для характеристической функции для центрального распределения ?2. Так как
а резольвента яда К (t,?) есть
то учитывая (1.2.8) получаем
где
Справедлива следующая теорема (Чибисова):
При а
Равномерно по х, где Ф (х) - стандартная функция нормально распределения.
2. Практическая часть
2.1 Решение задач о типах сходимости
. Доказать, что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Приведите контрпример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
Решение. Пусть последовательность случайных величин сходится к случайной величине почти наверное. Значит, для любого
и из сходимости к почти наверное вытекает, что сходится к по вероятности, так как в этом случае
Но обратное утверждение неверно. Пусть последовательность независимых случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения , равную нулю при и равную при . Рассмотрим последовательность
Эта последовательность сходится к нулю по вероятности, так как
стремится к нулю при любом фиксированном и . Однако сходимость к нулю почти наверное иметь место не будет.
Действительно,
стремится к единице, то есть с вероятностью 1 в последовательности при любых и найдутся реализации, превосходящие
. Пусть монотонная последовательность. Доказать, что в этом случае сходимость к по вероятности влечет за собой сходимость к с вероятностью 1.
Решение. Пусть монотонно убывающая последовательность, то есть . Для упрощения наших рассуждений будем считать, что , при всех . Пусть сходится к по вероятности, однако сходимость почти наверное не имеет место.
Тогда существует , такое, что при всех
что противоречит сходимости к по вероятности. Таким образом, для монотонной последовательности , сходящейся к по вероятности, имеет место и сходимость с вероятность 1 (почти наверное).
. Пусть последовательность сходится к по вероятности. Доказать, что из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к с вероятностью 1 при .
Решение. Пусть некоторая последовательность индексов , выбирая так, чтобы
Тогда ряд
то есть, как следует из предыдущей задачи, .
. Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо положительного порядка следует сходимость по вероятности. Приведите контрпример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
Решение. Пусть последовательность сходится к величине в среднем порядка
Воспользуемся обобщенным неравенством Чебышева: для произвольного и
Устремив и учитывая, что , получим, что
то есть сходится к по вероятности.
Однако сходимость по вероятности не влечет за собой сходимость в среднем порядка . Это показывает следующий пример. Рассмотрим вероятностное пространство , где , борелевская алгебра, мера Лебега.
Определим последовательность случайных величин
следующим образом:
Последовательность сходится к 0 по вероятности, так как
но при любом
то есть сходимость в среднем иметь место не будет.
. Пусть , причем для всех . Доказать, что в этом случае сходится к в среднеквадратическом.
Решение. Заметим, что так как , то . Получим оценку для . Рассмотрим случайную величину . Пусть произвольное положительное число. Тогда и при . Значит
среднеквадратическом.
. Доказать, что если сходится к по вероятности, то имеет место слабая сходимость . Приведите контрпример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
Решение. Докажем, что если , то в каждой точке , являющейся точкой непрерывности (это необходимое и достаточное условие слабой сходимости ), функция распределения величины , а величины .
Пусть точка непрерывности функции . Если , то справе?/p>