Задачи к экзамену по общей математике
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?адание 7
Найдите максимальное значение функции на интервале .
Решение:
Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
- находится за пределами интервала .
. Исследуем знак производной в окрестностях точки .
В окрестностях точки производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума функции.
. Наибольшее значение на интервале (0;2) функция достигает в точке максимума . Вычислим значение функции в точке
Ответ: -3.
. Задание 7
Определите участки монотонности функции
Решение:
Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
. Исследуем знак производной в окрестностях точек
В окрестностях точки производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума функции.
В окрестностях точки производная меняет знак с -, на +, значит это точка минимума функции.
. Учитывая область определения, находим участки монотонности функции.
Функция убывает на интервале .
Функция возрастает на интервалах и .
Ответ: Функция убывает на интервале и возрастает на интервалах и .
5 Задание 7
Найдите точку максимума функции
Решение:
Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
. Исследуем знак производной в окрестностях точек
,
В окрестностях точки производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума функции.
В окрестностях точки производная меняет знак с -, на +, значит это точка минимума функции.
Ответ: 2,5
Задание 7
Найдите точку максимума функции
Решение:
Функция представляет собой дробь. Дробь существует, когда ее знаменатель отличен от 0. Поэтому область определения функции можно найти, решив неравенство ,
Функция определена на интервалах и . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
. Исследуем знак производной в окрестностях точек
В окрестностях точки производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума функции.
В окрестностях точки производная меняет знак с -, на +, значит это точка минимума функции.
Ответ: -1,2
. Задание 7
Найдите точку минимума функции
Решение:
Функция представляет собой дробь. Дробь существует, когда ее знаменатель отличен от 0. Поэтому область определения функции можно найти, решив неравенство ,
Функция определена на интервалах и . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
3. Исследуем знак производной в окрестностях точек
В окрестностях точки производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума функции.
В окрестностях точки производная меняет знак с -, на +, значит это точка минимума функции.
. Вычислим минимальное значение функции
Ответ: 1
. Задание 7
Определите участки монотонности функции
Решение:
Функция определена на интервале . Для определения на ней участков монотонности найдем с помощью производной экстремумы функции.
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
. Исследуем знак производной в окрестностях точек
В окрестностях точки производная меняет знак с + на -, значит это точка максимума функции.
В окрестностях точки производная меняет знак с -, на +, значит это точка минимума функции.
. Учитывая область определения, находим участки монотонности функции.
Функция убывает на интервале .
Функция возрастает на интервалах и .
Ответ: Функция убывает на интервале и возрастает на интервалах и .
. Задание 7
Найдите точку минимума функции
Решение:
Функция определена на интервале . Если она имеет экстремумы, то ее производная в этих точках равна 0. Поэтому
. Найдем производную функции y(x).
. Приравняем производную к нулю и найдем экстремумы функции.
. Исследуем знак пр?/p>