Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Курсова робота
Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Введення
Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розвязних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.
У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.
Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .
Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою ( - підгрупою).
Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:
1) кожна фактор - група будь - якої групи з також належить ;
2) із завжди треба .
Якщо формації й такі, що , то називається підформацією формації .
По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх - груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх - груп ( фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних - груп, клас всіх розвязних груп, клас всіх розвязних - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.
Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;
2) якщо деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то обєднання є формацією.
Доказ здійснюється перевіркою.
Визначення 1.3. Нехай непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з , для яких .
Очевидно, - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою. - корадикал групи позначають інакше через і називають - корадикалом. - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розвязний корадикал, - розвязний корадикал, - корадикал і т.д. - корадикал (або абелев корадикал) це комутант групи. Так само як і комутант, - корадикал зберігається при гомоморфізмах.
Лема 1.2. Нехай непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:
1)
2) якщо те
3) якщо й , те
Доказ. Нехай . Тоді
Звідси треба, що . З іншого боку,
звідки одержуємо . З і треба рівність . Твердження 1) доведено.
Нехай природний гомоморфізм групи на Очевидно,
звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.
Визначення 1.4. Нехай і деякі формації. Якщо , то покладемо Якщо , те позначимо через клас всіх тих груп , для яких Клас називається добутком формацій і .
З визначення 1.4 треба, що добуток формацій є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь - якого те ми приходимо до поняття ступеня
Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.
Теорема 1.1. Добуток будь - яких двох формацій також є формацією.
Лема 1.3. Нехай і нормальні підгрупи групи . Тоді кожний головний фактор групи - ізоморфний або деякому головному фактору групи , або деякому головному фактору групи
Доказ випливає з розгляду - ізоморфізму
Теорема 1.2. Нехай деяка формація, клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай обєднання формацій Тоді підформація формації
Доказ. З леми 1.3 виводимо, що формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо мінімальна нормальна підгрупа групи , то по індукції для деякого натурального . Але тоді або , або - корадикал групи . Тому що , те звідси випливає, що , і теорема доведена.
Операції на класах груп
Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.
Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції , застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:
Уведемо операції в такий спосіб:
тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь - групу;
тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь - групу;
тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь - групи;
тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних - підгруп;
тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що
тоді й тільки тоді, коли є розширенням - групи за допомогою - групи;
тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що
Якщо , то замість пишуть Оборотний увага на той факт, що якщо нормальні підгрупи групи , причому для кожного , то Помітимо ще, що операцію мож?/p>