Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
>
Лема 3.8. Перетинання будь - якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те внутрішній екран.
Доказ. Те, що екран формації , безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь - якої групи . Виходить, внутрішній екран.
Формація з однорідним екраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.
Доказ. Нехай формація має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , що задовольняє наступній умові: для будь - якого простого . Тоді й, отже, . Припустимо, що формація має групи, що не входять в , і виберемо серед всіх таких груп групу , що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи . Тому що , те для кожного має місце
Якщо неабелева, то й . Якщо ж - група, то виходить, що - центральна в. А це суперечить тому, що . Теорема доведена.
Локальна формація
Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.
Визначення 4.1. Формація називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.
Визначення 4.2. Нехай внутрішній локальний екран формації , що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .
Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , причому задовольняє наступній умові: для будь - якого простого числа p.
Визначення 4.3. Нехай локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назвемо мінімальним локальним екраном формації .
Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.
Доказ. Нехай множина всіх локальних екранів формації , причому . Позначимо через перетинання множини екранів . У множині є внутрішній екран, тому внутрішній екран формації . По лемі 3.4 екран є локальним. Через лему 3.8 шуканий екран.
Побудова локальних формацій
1. Формація всіх груп. Формація має локальний екран таким, що для будь - якого простого .
2. Формація одиничних груп. Формація має порожній екран, що, мабуть, локальний.
3. Формація нильпотентних - груп. Нехай формація всіх нильпотентних - груп, такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, мінімальний локальний екран формації .
4. Формація - груп. Нехай формація всіх - груп, такий локальний екран, що для кожного для кожного . Очевидно, локальний екран формації .
5. Формація - нильпотентних груп. Нехай формація всіх - нильпотентних груп ( фіксоване простої число), такий локальний екран, що для будь - якого простого числа , відмінного від . Покажемо, що екран формації . Головний ряд - нильпотентної групи - центральний. Нехай . Потрібно встановити, що - нильпотентна. Нехай мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції - нильпотентна. Якщо - група, то звідси треба, що й - нильпотентна. Якщо ж - група, те, тобто . Якщо тепер - підгрупа з , то через підгрупа - нильпотентна, а виходить, і - нильпотентна. Тим самим показано, що .
Теорема 5.1. У кожній - групі підгрупа збігається з перетинанням у всіх головних - факторів групи .
Наслідок 5.1.1. У будь - якій групі підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням у всіх головних факторів групи .
Наслідок 5.1.2. Для кожної - розвязної групи має місце включення .
Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). для будь - якої розвязної групи .
Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант - групи - нильпотентний.
6. Формація - замкнутих груп. Нехай формація всіх - замкнутих груп ( деяка фіксована множина простих чисел), такий локальний екран, що для кожного для кожного . Покажемо, що екран формації .
Очевидно, . Припустимо, що клас не порожній, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді має єдину мінімальну нормальну підгрупу , причому не є - групою. Нехай . Тому що , те, а виходить, . Тому абелева - група. Тому що - замкнута, те й - замкнута, тобто має нормальну - підгрупу . Ясно, що . Тому що , те . Легко бачити, що , а виходить, і група - замкнута. Тим самим показано, що .
7. Формація - дисперсивних груп. Нехай деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел, формація всіх - дисперсивних груп. Покажемо, що локально.
Розглянемо всілякі множини простих чисел, що володіють наступною властивістю: для всіх . Нехай формація всіх - замкнутих груп. Очевидно, . Тому що формації локальні, то по лемі 3.4 формація також є локальною.
8. Формація - розвязних груп. Нехай формація всіх - розвязних груп, такий локальний екран, що для будь - якого простого . Неважко помітити, що максимальний внутрішній локальний екран формації . Зокрема, формація є локальною.
9. Формація - груп. Нехай формація всіх - груп. Позначимо через формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить . Побудуємо локальний екран такий, що для кожного для кожного . Покажемо, що . Ясно, що . Нехай , мінімальна нормальна підгрупа групи . По індукції . Якщо - група, то - понад розвязна. Нехай порядок ділиться на деяке число . Тоді, якщо , те
Звідси треба, що - група.
Лема 5.1. Нехай деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів - групи й . Тоді циклічна група порядку, що ділить . Крім того, найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню .
Доказ. Будемо вважати, що аддитивна абел?/p>