Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ідок 4 Нехай група має дві нормальні - понад розвязні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді - понадрозвязна.
Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми при .
Наслідок 5 Нехай група має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді понад розвязна .
Теорема Слепова 6 Нехай формація має такий локальний екран , що для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є - замкнутою. Тоді - замкнута.
Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми .
Теорема Слепова 7 Нехай максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута (слабко - замкнута, ) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно слабко - замкнута).
Доказ. Достатність випливає з теорем і . Нехай - замкнута (слабко - замкнута, ). Нехай , де нормальні - підгрупи (нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що , те . Покажемо, що .
Нехай , де , елементарна абелева - група. для кожного . Тому що - замкнута (слабко - замкнута), те звідси випливає, що . Якщо перетинання в усіх - головних факторів групи , то
Тому що , те по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Але тоді , тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .
Теорема доведена.
Лема Чунихина 8 Нехай , , . Тоді . Зокрема, якщо й , те непроста.
Доказ. З рівності треба, що
Отже, . Звідси, через для кожного , одержуємо . Лема доведена.
Теорема Виландт 9 Група розвязна, якщо вона має три розвязні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.
Доказ. Нехай група має розвязні підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді . Нехай мінімальна нормальна підгрупа з . Тому що розвязно, те, простої число. Через умову теореми, не ділить одночасно й . Нехай, для визначеності, не ділить . Це значить, що силовська - підгрупа з є силовською - підгрупою групи . Через теорему Силова , де . Тому що й , те по лемі . Таким чином, неодинична розвязна нормальна підгрупа групи . У фактор - групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. По індукції розвязна, але тоді й розвязна. Теорема доведена.
Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.
Визначення. Клас груп називається - замкнутим ( натуральне число), якщо містить усяку групу , що має - підгруп, індекси яких у при попарно взаємно прості.
По визначенню, порожня формація - замкнута для кожного . Єдиної - замкнутою непустою формацією, відмінної від , умовимося вважати .
Лема 10 Нехай і - замкнуті класи груп. Тоді також - замкнуть.
Доказ очевидно.
Наступна лема доведена Крамером.
Лема 11 Нехай формація втримується в і - замкнута, . Тоді формація є - замкнутою.
Доказ. Нехай група має - підгрупи , ,…,,індекси яких у попарно взаємно прості. Тому що , те по теоремі група розвязна. При будь - якому гомоморфізмі групи образи підгрупи належать і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що - корадикал групи є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що є - групою для якогось . Підгрупа Фиттинга групи також є - групою. Індекс будь - якої підгрупи, що не містить , ділиться на . Тому втримується принаймні в підгрупах нашої системи підгруп . Будемо вважати, що , . Тому що є - групою, те й , . Звідси й з наслідку випливає, що , . Тому що , те ми одержуємо, що , . Скориставшись - замкнутістю формації , ми приходимо до того, що .
Лема доведена.
Теорема Крамер 12 Нехай такий локальний - екран формації , що для будь - якого простого формація - замкнута, . Тоді - замкнута.
Доказ. Тому що - екран, то для будь - якого простого , а виходить, . Нехай . Через лему 4.5. Якщо , те й - замкнута; якщо ж , те по лемі формація - замкнута. У кожному разі - замкнута. По лемі - замкнута. Застосовуючи лему , ми бачимо, що й формація - замкнута. Теорема доведена.
Тому що формація має одиничний екран, що задовольняє умові теореми при , те ми одержуємо
Наслідок Кегель 13 Група нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.
Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.
Лема 14 Клас усіх - замкнутих груп - замкнуть.
Доказ таке ж, як і в теореми .
Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є - замкнутою.
Доказ. Нехай деяка формація нильпотентних груп. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку група нильпотентна. Якщо найвищий ступінь простого числа , що ділить , то ділить для деякого , тому що не може ділити одночасно індекси всіх підгруп , і . Якщо ділить, то силовська - підгрупа із входить в і є силовскою - підгрупою групи . Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи є - групами. Тому що формація, те звідси треба, що .
Лема доведена.
Лема 16 Нехай якийсь - замкнутий гомоморф - замкнутих груп. Тоді клас - замкнуть.
Доказ. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. По лемі має нормальну силовску - підгрупу . Оскільки є силовскої - підгрупою в і гомоморф, те . У групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. Тому через - замкнутість маємо . Лема доведена.
Лема 17 Для будь - якого простого й будь - якої формації нильпотентних груп клас є - замкнутою формацією.
Доказ. По лемі клас - замкнуть. По лемі клас - замкнуть і по теоремі 1.1 є формацією.
Теорема 18 Нехай локальна підформація формації , максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо для будь - яког