Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
µва група. Тоді можна розглядати як правий векторний простір розмірності над полем з елементів. Нехай комутативне підкольцо кільця , породжене елементами й . Через умову є правим - модулем (визначення, повязані з - модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура, тіло. Тому що комутативне, те . Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому поле. Тому що - модуль не приводимо, те для будь - якого ненульового ; але тоді відображення , є - гомоморфізмом - модуля на . Тому що ядро є ідеал поля , те ізоморфізм. Отже, . Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому циклічна й ділить .
Нехай найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню . Тоді ділить . Добре відомо, що поле порядку містить порядку . Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й ділить, то . Але тоді й . Лема доведена.
10. Формація . Нехай непуста формація, такий локальний екран, що для будь - якого простого . Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що екран формації . Зокрема, формації і є локальними формаціями.
Нехай локальний екран деякої підформації з . Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що є локальним - екраном формації . Таким чином, кожна локальна підформація формації має внутрішній локальний - екран. Зокрема, будь - яка локальна підформація формації має внутрішній локальний - екран.
Локальні формації із заданими властивостями
Нехай деяка операція, локальний екран формації . Природно виникають два питання:
1) чи Буде - замкнутої, якщо - замкнута для будь - якого простого ?
2) чи Буде - замкнутої для будь - якого простого , якщо - замкнута?
Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.
Теорема Слепова 1 Нехай деякий клас груп, максимальний внутрішній локальний екран формації , фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:
1) якщо , те ;
2) якщо , те .
Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай одна з операцій , . Припустимо, що . Нехай (нормальна) підгрупа групи й . Розглянемо регулярне сплетення , де , елементарна абелева - група. По лемі 3.11. Тому що , те . Розглянемо головний ряд групи :
Нехай . Тому що й , те
для кожного . Отже, , де . По властивості регулярного сплетення . Отже, , і по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Тому що й формація є по теоремі 3.3 - замкнутої, то ми одержуємо, що . Теорема доведена.
Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута ( - замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно - замкнута).
Доказ. Необхідність. Припустимо, що - замкнуто ( - замкнута). Думаючи й застосовуючи теорему , ми одержуємо, що - замкнуто ( - замкнута) для будь - якого простого .
Достатність. Нехай для будь - якого простого формація є - замкнутою ( - замкнутої). Нехай підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи . Покажемо, що . Тому що , те володіє - центральним головним рядом
Нехай . Тому що
те, де . Нехай . За умовою й . Звідси, через , випливає, що . Тим самим установлено, що ряд
є - центральним рядом групи . Теорема доведена.
Для будь - якого натурального числа - замкнутий клас містить, по визначенню, кожну групу , у вигляді добутку нормальних - підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.
Визначення. Клас груп назвемо слабко - замкнутим, , якщо містить усяку групу , що має нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами.
Легко помітити, що якщо й підгрупи групи причому й взаємно прості, те .
Теорема Слепова 3 Нехай локальний екран формації й нехай для деякого натурального числа виконується наступна умова: для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є слабко - замкнутою. Тоді слабко - замкнута.
Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в , але нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу найменшого порядку. Таким чином, не належить , але має нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи неодиничні.
Нехай мінімальна нормальна підгрупа групи . У підгрупи мають попарно взаємно прості індекси й належать . Тому що для теорема вірна, те . Ясно, що єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , причому й для кожного . Через теорему 4.3. Тому що , те найдеться таке , що . Розглянемо , де пробігає все - головні фактори групи . Тому що , те, . Можливі два випадки.
Випадок 1. Нехай . Тоді неабелева й . Звідси й з одиничності випливає, що . Але тоді й, отже, можна розглядати як деяку групу групи , що діє тотожно на всіх - головних факторах групи . По добре відомій теоремі Ф.Холу нильпотентна. Тому що до того ж нормальна в , те . Але тоді для будь - якого , а тому що формація слабко - замкнута за умовою, те . Але тоді , тому що й за умовою . Одержали протиріччя.
Випадок 2. Нехай . Тоді входить в і є - групою. Тому що , те абелева. Нехай максимальна підгрупа групи , не утримуюча . Тоді , , , . Звідси, через одиничність , містимо, що , a виходить, . По лемі 3.10 є - групою. Але тоді і є - групою, причому . Ми одержуємо, таким чином, що для кожного . Але тоді , тому що слабко - замкнута. Останнє означає, що - центральна в , що суперечить рівності . Знову одержали протиріччя.
Теорема доведена.
Насл