Дослідження локальних формацій із заданими властивостями
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
p>Доказ. Нехай підформація формації . Якщо , то по теоремі 2.3 має місце , що й потрібно.
Екрани
Недоліком поняття групової функції є те, що не завжди ущільнення - центрального ряду нормальними підгрупами є - центральним рядом.
Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь - якої групи виконуються наступні умови:
1) формація;
2) для будь - якого гомоморфізму групи ;
3) .
З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо екран, те кожний f - центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f - центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f - центральними рядами, співпадає з формацією .
Лема 3.1. Нехай екран, група операторів групи , деяка нормальна - припустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним - припустимим рядом, фактори якого - центральні відносно , то один з таких рядів проходить через .
Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:
Нехай . Тоді ряд
буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й - ізоморфизми:
Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:
1) перетинання будь - якої непустої множини екранів також є екраном;
2) обєднання будь - якого непустого ланцюга екранів також є екраном.
Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь - якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 обєднання є формацією. Тим самим лема доведена.
Визначення 3.2. Екран назвемо:
1) p - однорідним, якщо він p - постійний і для будь - якої групи і її силовської p підгрупи має місце ;
2) однорідним, якщо він p - однорідний для будь - якого простого p;
3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;
4) композиційним, якщо для будь - якої групи має місце , де пробігає всі фактори групи
5) порожнім, якщо для будь - якої неодиничної групи ;
6) - екраном, якщо для будь - якої групи .
- екран при будемо називати одиничним екраном.
Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.
Приклад 3.1. Нехай і непусті формації, причому , а групова функція така, що для кожної групи й для будь - який групи . Тоді однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.
Приклад 3.2. Нехай непуста формація, а групова функція така, що для будь - який групи виконуються умови:
1) , якщо не має абелевих композиційних факторів;
2) , якщо має хоча б один абелев композиційний фактор.
Тоді композиційний екран, що не є однорідним.
Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран , досить кожному простому числу поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи покласти , де пробігає .
Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран , потрібно кожній простій групі поставити у відповідність деяку формацію , а потім для будь - якої групи покласти , де пробігає всі композиційні фактори групи .
Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь - якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;
2) перетинання будь - якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;
3) перетинання будь - якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.
Доказ. Нехай екран є перетинанням множини екранів . Припустимо, що всі екрани є локальними, тобто для будь - яких і має місце рівність:
де пробігає всі підгрупи групи . Тоді
а виходить, локальний екран.
Лема 3.4. Обєднання будь - якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.
Доказ. Нехай деякий ланцюг екранів, її обєднання, . По лемі 3.3 функція є екраном, причому ясно, що постійність тягне постійність екрана . Припустимо, що все є однорідними екранами. Тоді, якщо будь - яка група й , те . Отже,
що й доводить однорідність екрана .
Екрани формацій
Кожної групової функції відповідає формація .
Лема 3.5. є непустою формацією для будь - якої групової функції .
Визначення 3.3. Нехай деяка формація. Якщо такий екран, що , то формація називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що
екран формації ,
має екран ,
екран визначає формацію ,
визначається екраном .
Формація має одиничний екран. Одинична формація має порожній екран.
Визначення 3.4. Екран назвемо внутрішнім, якщо внутрішня групова функція, тобто для будь - якої неодиничної групи .
Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.
Доказ. Нехай екран формації . Визначимо функцію в такий спосіб: для будь - якої групи . Легко бачити, що екран, причому . Якщо й головний фактор групи , то . Тому що клас - замкнуть, те, а виходить, - центральний Таким чином, . Отже, , тобто шуканий внутрішній екран.
Лема 3.7. Нехай екран формації . Тоді є екраном формації .
Доказ. Нехай довільний головний фактор групи . Нехай . Тому що , те . Виходить, , тобто - в. Звідси треба, що .
Обернено, якщо , те головний ряд групи буде - центральним для будь - якого , тобто . Отже, .