Финансовые вычисления
Методическое пособие - Экономика
Другие методички по предмету Экономика
? купонов происходят ежегодно (один раз в год), то рыночная цена облигации равна:
(29)
Где С - годовой купонный доход (в рублях)
N - номинал облигации (в рублях)
i- доходность к погашению или ставка дисконтирования.
Соотношения (29) связывают стоимость облигации или курс с доходностью к погашению. Если известна доходность i, то стоимость (или курс) - можно определить с помощью соотношения (29). Обратная задача - определение доходности по курсу - в общем виде аналитически неразрешима. Поэтому доходность к погашению облигаций с фиксированным купоном находят с помощью численного решения уравнения (29).
7.2 Особенности облигации с постоянным купоном
Укажем на следующие особенности облигаций с постоянным купоном. Если облигация приобретена по номиналу (по курсу 100), то доходность к погашению i равна ставке купонного дохода g. Если облигация приобретена с дисконтом (по курсу меньше 100), то доходность больше купонного дохода (i > g). Если же облигация приобретена с премией (K > 100), доходность меньше купонного дохода (i < g). В последнем случае (при покупке с премией) владелец облигации также может получить доход, если не произойдет досрочного выкупа облигации эмитентом.
Если купонные выплаты происходят два раза в год, то для финансовых расчетов используется номинальная процентная ставка доходности j при условии начисления процентов 2 раза в год. При этом каждый раз выплачивается половина купона, т.е. величина . Для определения текущей стоимости облигации следует продисконтировать все купонные выплаты и выплату в погашении номинала. Можно воспользоваться результатом (18) и получить выражение:
(30)
7.3 Определение доходности облигации с фиксированным купоном
При расчетах часто используют простую процентную ставку доходности для облигаций с фиксированным купоном. Напомним, что при начислении дохода по простой процентной ставке, доход каждый раз начисляется на первоначальную сумму, т.е. предполагается, что промежуточные доходы по процентам не реинвестируются (можно считать, что все купонные доходы получены в конце срока). Поэтому можно записать:
•(1 + n• inp) = N+n•Ct (31)
откуда можно получить:
(32)
В числителе (32) - доход, полученный владельцем за весь период владения облигаций. Разделив доход на цену облигации, получим доходность за весь срок. Если теперь разделить последнюю доходность на срок n, то получится годовая доходность облигации.
Простая доходность inp , если облигация куплена по номиналу (К=100). В этом случае i = inp = it = g. Так же i = inp, если срок облигации равен одному году (n = 1). Если срок облигации равен нескольким годам, то пользуются так же другой приближенной формулой:
(33)
Соотношение (33) отличается от (32) тем, что в (32) в знаменателе фигурирует не цена облигации, а средняя арифметическая между начальной ценой облигации P и конечной ценой N.
Пример 17
Срок облигации с фиксированным купоном равен 7 годам. Купонный доход выплачивается ежегодно по норме 12 % от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования равна 16%.
Решение
Пример 18
Годовой купонный доход облигации равен 240 руб., купонный доход выплачивается 2 раз в год, номинал облигации равен 1 300 руб., срок до погашения 6 лет. Найти цену облигации, если доходность к погашению (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 2 раза в год) равна 14,47%.
Решение
Согласно (30) цена облигации равна:
руб.
Пример 19
Облигация с фиксированным купоном, равным 20% от номинала и выплачиваемым ежегодно, куплена по курсу 90. Срок облигации - 10 лет. Найти простую доходность и доходность по приближенной формуле (33).
Решение
или inp= 23,33%
или ? = 22,11%
Численное решение уравнения (29) приводит к следующему значению для доходности по сложной ставке: i = 22.6%/ В данном случае лучшим приближением для i является доходность ?, рассчитанная по приближенной формуле (33).
8. Чистая и грязная цена облигации
8.1 Понятие чистой и грязной цены облигации
Мы рассмотрели случаи, когда облигация была приобретена в начале купонного периода, т.е. цена облигации определялись на начало купонного периода. Если расчеты ведутся для промежутка времени, находящегося между двумя купонными периодами, то выделяют две цены облигации:
грязную (её называют ещё полной ценой) Pg (full, gross dirty price) и
- чистую цену Pc (clean, flat price).
Грязная (полная) цена облигации содержит накопленный купонный доход (accrued interest) Ct, т.е. она отличается от чистой на величину купонного дохода, накопленного со времени последней выплаты купона:
= Pc + Ct (34)
При этом считается, что купонный доход Ct растет равномерно между двумя последовательными выплатами купона. Если выплаты происходят один раз в году, то накопленный купонный доход равен:
Сt = C t1(35)
Где t - время в годах, прошедшее с момента выплаты последнего купона.
Если выплаты происходят два раза в год, то накопленный купонный доход равен:
(36)
где T - купонный период, т.е. время между двумя последовательными купонными выплатами, t - время, прошедшее с момента выплаты последнего купона.
8.2 Определение чистой и грязной цены (курсовой стоимости) облигации
Аналогично можно определить грязный курс облигации Кg и чистый курс облиг