Теория статистики
Вопросы - Экономика
Другие вопросы по предмету Экономика
?чественно. Это и ведёт к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы). Например, при бросании монеты решка - это 0, а орел - это 1; при бросании игральной кости результаты - суть номера граней от 1 до 6 и т. п.
Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями.
Случайная величина Х называется дискретной, если существует такая неотрицательная функция
которая ставит в соответствие значению хi переменной Х вероятность рi, с которой она принимает это значение. Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если события Х = хi и Y = yi при произвольных i и j являются независимыми.
Случайная величина Х называется непрерывной, если для любых a < b существует такая неотрицательная функция f ( x ), что
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
Законом распределения случайной дискретной величины (X) называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины (x1,x2,...xn) и соответствующими им вероятностями (p1,p2,...,pn). При этом события (x1,x2,...xn) образуют полную группу (т.е. появление одного из них является достоверным событием), что означает
(1)
Про случайную величину X в таком случае говорят, что она подчинена данному закону распределения.
Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд сходится и его сумма равна единице.
Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:
Возможное значение XX1Х2...ХnВероятностьР1Р2...Рn
Такая таблица называется таблицей распределения (вероятностей) случайной величины X.
. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины, их свойства
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
Случайная величина Х называется непрерывной, если для любых a < b существует такая неотрицательная функция f ( x ), что
Функция f ( x ) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.
Вероятность того, что случайная величина Х принимает значение меньшее х, называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F ( x ):
F ( x ) = Р ( X x ).
Общие свойства функции распределения:
. Основные числовые характеристики случайной величины и их свойства
Случайные величины, помимо законов распределения, могут описываться числовыми характеристиками.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х принимающей конечное число значений хi с вероятностями рi, называется сумма:
М ( Х ) = х1 р1 + х2 р2 + х3 р3 +... + хn рn.
Свойства математического ожидания:
Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М(С) = С
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М ( с Х ) = с М ( Х ), c R
Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М ( Y ), Х, Y Е
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
М ( Х Y ) = М ( Х ) М ( Y ) для независимых случайных величин Х и Y
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания.
Дисперсией случайной величины Х называется число:
D ( Х ) = М{ [ Х - М ( Х )] 2 }= М ( Х 2 ) - [М ( Х )] 2.
Свойства дисперсии:
) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (C) = 0.
) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = CD(X).
) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y) = D(X) + D(Y). 4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X - Y) = D(X) + D(Y). Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Средним квадратичным отклонением ? случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
34.Биноминальный закон распределения случайной величины
Биномиальное распределение
Дискретная случайная величина распределена по биномиальному закону с параметрами и , если она принимает значения с вероятностями
.
n-число испытаний, m- число испытаний, в котором произошло интересующее нас событие А.
Корректность распределения:
Математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины , дисперсия .
Биноминальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы, других отраслях.
35. Нормальный зак