Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?а втором курсе факультета математики и информатики СГПИ в феврале 2003 - 2004 учебного года.
Для проведения лекций использовался компьютер с TV - кодером и телевизор с диагональю экрана 71 см. Текст лекции, увеличенный до 32 шрифта, с гибкомагнитного диска подавался на экран и озвучивался лектором.
Просмотр конспектов у всего потока студентов показал, что их качество возросло, это свидетельствует о целесообразности проведения лекции с применением новых информационных технологий. Кроме того, в 1,5 раза возросла скорость подачи материала.
При хорошей подготовки и исключении накладок использование в лекции даже простых технических средств предъявления информации может существенно повысить ее привлекательность для студентов, дидактическую эффективность, а также снизить нагрузку на голосовой аппарат преподавателя.
.3 Разработка лекционных занятий
Определение тройного интеграла
1.Рассмотрим систему трех уравнений
,
где - множество упорядоченных пар . Когда точка пробегает область , точка с координатами опишет некоторую поверхность в .
Это множество принято называть поверхностью в и обозначать , а систему трех уравнений называют ее параметрическим представлением, и - параметры, принадлежащие области .
.Пусть граница этой поверхности обозначается .
.Пусть в замкнутой 3-х мерной области задана некоторая функция .
.Разобьем эту область кусочно-гладкими поверхностями на конечное число измеримых областей , [3].
.Обозначим через диаметр , максимальное расстояние между точками, а - наибольший из всех диаметров частичной области , , -ранг разбиения области на частичные области .
.Выберем в каждой частичной области произвольную точку .
.Составим интегральную сумму вида:
,
где - мера объема (мера Жордано).
Определение: Если при , интегральная сумма стремиться к конечному пределу, причем он не зависит от способа разбиения тела на подобласти и выбора точек , то функция называется интегрируемой по области , а сам предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается
[2].
Свойства тройного интеграла
1. Если функция интегрируема по области , то она ограничена на указанной области.
. Если функция непрерывна по области , то она интегрируема на указанной области.
. Если область разбита на две, то тройной интеграл равен сумме тройных интегралов, т.е. если , то
.
Существование интегралов в правой части обеспечивает существование интеграла в левой части и наоборот.
4. Если - некоторое действительное число (), то константу можно выносить из под знака интеграла . Если f - интегрируема, то и функция интегрируема, если . Из существования интеграла в левой части вытекает существование интеграла в правой части.
. Справедлива формула:
.
Существование интегралов в правой части влечет существование интеграла в левой части.
. Если и они интегрируемы на , то
.
. Если f интегрируема на (т.е. есть предел частичных сумм), то и модуль от нее интегрируем и справедлива формула
[1].
. Теорема о среднем: Если на и f - интегрируема, то , m- наименьшее значение, M- наибольшее по области , где - мера Жордано.
Следствия 8 свойства:
.Обе части разделим на, получим , где .
.Если кроме указанных условий теоремы о среднем функция непрерывна в любой точке области , то справедливо утверждение
,
где точка .
. Если, то [2].
Вычисление тройного интеграла
1 случай. Область имеет следующий вид:
В данном случае считают, что - измеряемое сечение, функция определена на и интегрируема на нем. При таких условиях тройной интеграл будет определяться по формуле:
.
Замечание: Считается, что - измеримая область с гладкой границей.
случай. Задана на непрерывная функция .
При таких условиях .
случай. Если область имеет специальный вид (дополнение ко второму случаю).
Тройной интеграл будет определяться по формуле:
.
случай. Объем тела вращения. В плоскости Oxy задан график функции . Его вращением относительно оси Ox получается тело вращения .
1. Воспользуемся формулой .
. Так как .
Криволинейная система координат в R3
1.Рассмотрим 2 пространства и , содержится в , содержится в (рис.12 - 13).
.Пусть векторное поле осуществляет преобразование пространства
.Пусть это векторное поле удовлетворяет всем необходимым условиям преобразования областей, т.е.
а) непрерывно дифференцируемо в области , а это значит, что функции , , , непрерывно дифференцируемы в области .
б) Поле устанавливает взаимно однозначные соответствия между и между .
в) Функциональный определитель или якобиан поля отличен от нуля в области , т.е. сохраняет свой знак в указанной области
в области .
При таких условиях векторное поле осуществляет преобразование областей .
Теорема: Если векторное поле представляет собой преобразование областей , то кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области преобразуется в кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области .
1.Как и в случае двух переменных эта теорема позволяет трактовать преобразование как переход от ПДСК к КСК.
.Криволинейные