Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?дут 0 и . По формуле
получаем
[17].
Первичное закрепление материала проводится при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным. Остальные решают на месте, сверяя свое решение с решением у доски.
№4.(Преподаватель у доски) Вычислить тройной интеграл , если - шар [21].
Решение:
Перейдем к сферическим координатам , , , . В области координаты , , изменяются так: , ,
.
№5. Вычислить тройной интеграл , если область ограничена цилиндром и плоскостями , и [22].
Решение:
Перейдем к цилиндрическим координатам: , , , .
Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид:
или , т.е. .
Следовательно, в области координаты , и изменяются так:
, , .
Поэтому
.
Студент у доски, остальные работают самостоятельно, в конце решения сравнивают полученный результат
№6. Вычислить , если область - верхняя половина шара [17].
Решение:
Введем сферические координаты , , , .
Новые переменные изменяются в пределах , , .
Таким образом,
.
№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом [3].
Решение:
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость . Для этого достаточно из системы уравнений , исключить переменную . В результате получим: или , откуда и - корни квадратного уравнения.
Следовательно, уравнением проекции будет окружность .
В силу симметрии достаточно вычислить объем тела находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле: для искомого объема получим
Так как проекция данного тела на плоскость есть круг , то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.
После преобразования по формулам: , , уравнения окружности , параболоида и сферы , соответственно принимают вид: , и . Из рисунка видно, что в области интегрирования угол изменяется от до , - от до , - от до . Поэтому
.
Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами познакомились с тройным интегралом, вычислением его по любой области, научились вычислять тройной интеграл путем преобразования декартовых координат к цилиндрическим и сферическим координатам, находить объем тела. Для окончательного закрепления изученной темы на дом будут заданы аналогичные примеры [23].
Домашнее задание: сборник задач по математическому анализу для студентов второго курса факультета математики-информатики. Ч.4.: №933, 934, 949 (стр. 41-43, 23). Ниже приведены решенные номера домашнего задания.
№933. Вычислить , где область определяется неравенствами , , [21].
Решение:
.
№934. Вычислить интеграл , если область ограничена плоскостями ,, , [27].
Решение:
Область ограничена сверху плоскостью , а снизу плоскостью . Проекцией тела на плоскость служит треугольник, образованный прямыми , , .
Следовательно, по формуле вычисления тройного интеграла
получаем
.
№949. Вычислить , где область - шар [16].
Решение:
Перейдем к сферическим координатам , , , , , , .
.
3.6 Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях
Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий является одним из важных направлений совершенствования профессиональной подготовки будущих педагогов.
Информационная технология, которая используется при изучении курса Математический анализ включает программированное обучение, экспертные системы.
Обучающие системы, которые включены в процессе изучения математического анализа построены в виде электронных учебников и характеризуются следующими параметрами:
структурная сложность;
содержательная сложность;
информативность;
ясность структуры.
Обучающие программы представляют собой электронные модели учебника, то есть содержат основные предложения учебника. В тексте учебников выделены структурные единицы, например, понятия, задачи, вопросы, теоремы, набор этих структурных единиц определяется предметом и, в частности, представленными в учебниках темами [25].
Наличие в программе курса Математического анализа большого количества часов, отведённых на практические занятия даёт возможность строить процесс обучения по данному курсу в соответствии с принципами, на основе которых применяются информационные технологии (основные принципы дидактики: наглядность, активность и сознательность, доступность, системность и последовательность).
Проведение практических занятий в компьютерных классах позволяет оптимально сочетать такие формы организации учебного процесса, как общие, групповые и индивидуальные.
Изучение с помощью технических средств позволяет реализовать дифференцированный подход к обучению [30].
Такие формы организации обучения как лекция, практические занятия в сочетании с применением информационных технологий позволяет строить учебный процесс в соответствии с современными тенденциями развития образования, такими как: усиление роли самостоятельной работы студента, смещение акцента с преподавания на учение, чем обеспечивается направленность на развитие самообразовательной