Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
µ знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.
Якобиан преобразования имеет вид:
[3].
2.3 Выражение объема в криволинейных координатах
Возвращаясь к предположениям и обозначениям п 1.1, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела в пространстве . Иным интегралом, распространенным на соответствующее тело в пространстве .
Искомый объем выражается, прежде всего поверхностным интегралом второго типа:,распространенным на внешнюю сторону поверхности . Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.
Будем исходить из параметрических уравнений (21) поверхности (23)( изменяются в области на плоскости ). Тогда уравнения (22) выразят, очевидно, поверхность .
Полагая , имеем:.
При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности , связанная с рассмотрением внешней ее стороны соответствует ориентации плоскости , что всегда можно предположить [1].
Так как зависят от через посредство переменных , то, по известному свойствy функциональных определителей:
.
Подставляя выражение в полученный выше интеграл, найдем:
. (25)
Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :
. (26)
Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений (21) к обыкновенному двойному интегралу придем как раз к интегралу (24). Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации поверхности , связанной с рассмотрением внешней ее стороны, то интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками [1].
Наконец, от интеграла (26) по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :
.
Подинтегральное выражение равно:
Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:
,
в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:
.
Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:
(27)
или, обозначая якобиан для краткости через :
. (27*)
Подинтегральное выражение
обычно называют элементом объема в криволинейных координатах [4].
.7 Замена переменных в тройных интегралах
С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.
Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство
(28)
где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве (28) не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство [2].
Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим
, (29)
где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим
, , , (30)
и составим интегральную сумму для первого из интегралов (28):
.
Подставив сюда вместо , , выражения (30), а вместо -выражение (28), придем к сумме
,
которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов (28).
Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.
Как и в случае двойных интегралов формула (28) имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы (26) предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.
Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов (28), существование другого отсюда уже будет вытекать [2].
В заключение упомянем, что формулы (26) и (28) могли быть написаны и без знака абсолютной величины при якобиане. Для этого чтобы иметь право на это, следовало бы ввести понятие об ориентированном теле (в связи с ориентированием его границы), затем в зависимости от его ориентации приписывать тот или другой знак его объему и распростра