Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?анственных областей.
Пусть имеем пространство, отнесенное к системе прямоугольных координат , и другое пространство с системой координат . Рассмотрим две замкнутые области и в этих пространствах ограниченные соответственно поверхностями и , которые всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собой взаимно однозначным непрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:
(19)
При этом, необходимо, точкам поверхности отвечают именно точки поверхности , и наоборот [1].
Пусть функции (19) имеют в области непрерывные частные производные; тогда и якобиан
(20)
также является непрерывной функцией в . Здесь будем считать, что этот определитель всегда отличен от нуля, сохраняя определенный знак.
Если в области взять кусочно- гладкую поверхность:
, , (21)
(предполагая, что параметры изменяются в некоторой области на плоскости ), то формулы (19) преобразуют ее в кусочно-гладкую же поверхность в области . Эта поверхность будет иметь уравнения
. (22)
Ограничимся случаем гладкой поверхности (20): на ней особых точек нет, так что определяем:
, , (23)
одновременно в нуль не обращаются. Проверке подлежит лишь отсутствие особых точек и на поверхности (21).
Имеем линейные равенства относительно величин (22):
,
,
[2].
Определитель, составленный из коэффициентов при этих величинах, т.e. из алгебраических дополнений к элементам определителя (20), по известной теореме алгебры равен квадрату этого последнего и, следовательно, вместе с ним отличен от нуля. Если бы левые части написанных равенств в какой-нибудь точке одновременно обратились а нуль, то нулями были бы и все три определителя (23), что противоречило бы допущению.
Числа , , однозначно характеризующие положение точки в пространстве , называются криволинейными координатами этой точки. Точки пространства , для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области проходит по одной поверхности каждого семейства [3].
Впрочем, все это будет так лишь в предположении строгой однозначности соответствия между областями и . На практике эта однозначность часто нарушается.
.2 Примеры
) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости с обычной декартовой аппликатой (рис.4). Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
, , (24)
Эти формулы отображают область
, ,
на все пространство . Отметим, однако, что прямая , отображается в одну точку ; этим нарушается взаимная однозначность соответствия [2].
Рис. 4.
Координатные поверхности в рассматриваемом случае будут:
а)- цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси ; направляющими для них служат окружности на плоскости с центром в начале;
б) - полуплоскости, проходящие через ось ;
в) - плоскости, параллельные плоскости .
Якобиан преобразования:
.
Исключая случай , якобиан сохраняет положительный знак.
) Сферические координаты, называемые иначе полярными координатами в пространстве, связаны с декартовыми формулами:
, , ,
Где , , .
Геометрический смысл величин , , ясен из puc.5: есть радиус вектор , соединяющий начало(полюс) с данной точкой ;- угол, составляемый с осью координат (полярной осью); - угол, составляемый с осью проекцией (перпендикулярную к полярной оси) [1].
Рис.5.
В этом случае снова сталкиваемся с нарушением взаимной однозначности соответствия: плоскость пространства отображается в начало координат , прямая , отображается в одну точку , .
Координатные поверхности составляют три семейства:
а) - концентрические сферы с центром в начале координат;
б) - круговые конусы, осью которых служит ось ;
в) - полуплоскости, проходящие через ось .
Якобиан этого преобразования:
.
Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль [4].
) Преобразование пространства самого в себя по формулам:
, ,
однозначно обратимо:
, , .
Оно называется инверсией [5].
) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:
,
состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).
Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из (24):
,
имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид) [1].
Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:
,
;
,
найдем:
, ,
.
Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительны?/p>