Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
тво (8). Если предположить еще существование простого интеграла
(9)
при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:
. (10)
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.
Если , то
(11)
И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].
.5 Вычисление тройного интеграла по любой области
Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая
Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.
Рис. 2.
Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда
(8*)
в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это - аналог формулы (8).
Пусть, далее, тело представляет собой цилиндрический брус, ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями
проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле (11) имеем
(11*)
при этом предполагается существование тройного интеграла и простого - внутреннего- интеграла справа [4].
Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл-то ли в формуле (8*), то ли в формуле (11*)-повторным, получим
. (10*)
Эта формула обобщает формулу (10).
Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул (8*), (11 *), (10*) и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .
Рис. 3.
.6 Несобственные тройные интегралы
В случаях, когда область интегрирования простирается в бесконечность или подинтегральная функция перестает быть ограниченной вблизи особых точек, линий или поверхностей, несобственный тройной интеграл получается помощью дополнительного предельного перехода, исходя из собственного интеграла.
Несобственные тройные интегралы также являются необходимо абсолютно сходящимися. Это обстоятельство сводит весь вопрос о существовании и вычислении таких интегралов к случаю положительной (неотрицательной) подинтегральной функции [2].
.7 Механические приложения
Естественно, что все геометрические и механические величины, связанные с распределением масс в пределах некоторого тела в пространстве, в принципе выражаются на этот раз тройными интегралами, распространенными на тело .Здесь также проще всего пользоваться принципом "суммирования бесконечно малых элементов" [1].
Обозначим через плотность распределения масс в произвольной точке тела ; она является функцией от координат точки; эту функцию мы будем всегда предполагать непрерывной. Суммируя элементы массы , для величины всей массы будем иметь
(12)
Исходя из элементарных статических моментов
, ,
найдем самые статические моменты:
, , , (13)
а по ним -и координаты центра тяжести:
, , . (14)
В случае однородного тела, , получаем проще:
, , .
Сами собой понятны и формулы для моментов инерции относительно осей координат:
, , (15)
или относительно координатных плоскостей:
,, . (16)
Наконец, пусть массы, заполняющие тело , оказывают притяжение на точку (массы 1) по закону Ньютона. Сила притяжения со стороны элемента массы имеет на оси координат проекции
где расстояние элемента (или точки, в которой мы считаем сосредоточенной его массу) от точки . Суммируя, для проекций полной силы притяжения на оси координат получим
(17)
Аналогично определяется и потенциал нашего тела на точку:
. (18)
Если точка лежит вне тела, то все эти интегралы оказываются собственными. В этом случае можно дифференцировать интеграл по любой из переменных , , под знаком интеграла на основании соображений, сходных с теми, которыми пользовались в отношении простых интегралов. В результате мы и получим, что
, ,
В случае же, когда точка сама принадлежит телу , в этой точке , и подинтегральные функции в (17) и (18) вблизи нее перестают быть ограниченными [1].
2. Замена переменных в тройных интегралах
.1 Преобразование пространств и криволинейные координаты
Идеи, развитые в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай прост?/p>