Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
я его существования
При построении общего определения нового интегрального образования тройного интеграла - основную роль играет понятие объема тела [1].
С понятием объема уже знакомы. Условие существования объема для данного тела заключается в том, чтобы ограничивающая его поверхность имела объем 0 . Только такие поверхности будем рассматривать, так, что существование объемов во всех нужных нам случаях тем самым обеспечивается. В частности, в состав указанного класса поверхностей входят кусочно-гладкие поверхности.
Пусть теперь в некоторой пространственной области (V) задана функция f(x, y, z). Разобьем эту область с помощью сети поверхностей на конечное число частей (V1), (V2), … , (Vn), имеющих соответственно объемы V1, V2, … ,Vn. В пределах i-го элемента возьмем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на объем Vi и составим интегральную сумму
Vi.
Конечный предел I этой суммы, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей (Vi) и называется тройным интегралом функции f(x, y, z) в области (V). Он обозначается символом
.
Конечный предел подобного вида может существовать только для ограниченной функции. Для такой функции вводятся, кроме интегральной суммы ?, еще суммы Дарбу:
, ,
где , .
Обычным путем устанавливается, что для существования интеграла необходимо и достаточно условие
или ,
где есть колебание функции f в области . Заметим, что при существовании интеграла обе суммы s, S также имеют его своим пределом.
Отсюда непосредственно следует, что всякая непрерывная функция f интегрируема.
Можно несколько расширить эти условия, а именно: интегрируема всякая ограниченная функция, все разрывы которой лежат на конечном числе поверхностей с объемом 0 [3].
Доказательство этого утверждения основано на следующей лемме:
Если область (V), содержащая поверхность (S) с объемом 0, разложена на элементарные области, то сумма объемов тех из них, которые задевают поверхность (S), стремиться к нулю вместе с диаметрами всех частичных областей.
.3 Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.
2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.
. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.
. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем
. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то
6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство
.
. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то
Иными словами, имеет место теорема о среднем значении
.
В случае непрерывности функции эту формулу можно написать
(3)
где есть некоторая точка области [3].
Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.
Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :
(4)
Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел
при стягивании к точке М содержащей ее области .
. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная
Рис. 1.
по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.
Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле первообразной и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.
.4 Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед
Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник [4].
Теорема. Если для функции существует тройной интеграл
(5)
и при каждом постоянном из - двойной интеграл
, (6)
то существует также повторный интеграл
, (7)
и выполняется равенство
. (8)
доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек
,
,
,
тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды
и одновременно прямоугольник - на элементарные прямоугольники
(где и пробегают те же значения, что и только что).
Положив
имеем в силу 1.3, 1.7,
для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства
.
Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :
.
Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла (3) и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла (7), так и равенс