Рынок ценных бумаг. Оптимизация портфеля инвестиций
Курсовой проект - Банковское дело
Другие курсовые по предмету Банковское дело
?емый дисперсией доходности портфеля, был минимальным. В нашем простейшем случае задача Марковица может быть формализована следующим образом:
Рис. 4. Иллюстрация к задаче Марковица
Естественно предположить, что , иначе задача либо не имеет решения, либо становится тривиальной. Так как - возрастающая функция на отрезке [0, 1], ее минимум достигается в минимально возможном значении , определяемым условием . В силу того, что также возрастает на [0, 1], минимальное возможное значение определяется уравнением (см. рис. 4.). Таким образом, имеет место равенство
из которого находим значение :
Соответственно,
Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:
Нетрудно убедиться, что ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю в этом случае находятся по формулам:
. Соотношение риск-доходность. Предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность каждого портфеля. Пусть, как и прежде, . Введем функцию рискованности следующим образом:
Здесь коэффициент q > 0 определяет предпочтение доходности перед риском для каждого инвестора. Если инвестор в большей степени предпочитает определять свои вложения доходностью, чем риском, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если же для инвестора более важным является риск, то он выберет коэффициент q маленьким.
В итоге задача оптимизации портфеля в этом случае имеет следующий формальный вид:
Как видно, функция является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом. Поэтому график этой функции представляет параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, функция имеет глобальный минимум, определяемый вершиной параболы. Координата вершины параболы равна
(15)
Так как , координата . Рассмотрим два различных варианта выбора оптимального портфеля. Первый вариант возникает в ситуации, когда . Так как в этом случае функция убывает на всем отрезке [0, 1], ее минимум на отрезке [0, 1] достигается в точке . Нетрудно заметить, что неравенство эквивалентно условию
Это удобно переписать в следующем виде:
(16)
Если это неравенство не выполнено и имеет место следующее соотношение:
то и минимум функции на отрезке [0, 1] достигается в точке . Тогда оптимальный портфель выбирается по второму варианту и равен . В силу формулы (15) нетрудно получить его окончательный вид:
(17)
Ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю равны соответственно:
Важную роль играет так называемая рисковая надбавка . Она будет достаточно большой, если будет велика дисперсия доходности рискового актива или коэффициент будет достаточно мал. Другими словами, рисковая надбавка тем больше, чем больше риск или чем он важнее для инвестора. Если ожидаемая доходность рискового актива не меньше доходности безрискового актива плюс рисковая надбавка (16), то инвестор предпочтет рискнуть и все вложить в рисковый актив. Если же рисковая надбавка настолько велика, что неравенство (16) не выполнено, то инвестор распределяет вложения в безрисковый и рисковый активы согласно формуле (17).
4. Модель ценообразования основных фондов
Рассмотрим множество точек на плоскости риск-доходность, соответствующих допустимым портфелям инвестиций в акции, как показано на рисунке 5. Эффективная граница этого множества имеет форму пули, и именно она представляет интерес с точки зрения инвестора. Безрисковый актив на этой плоскости будет определяться точкой F на оси ординат с координатой , так как безрисковый актив имеет нулевую дисперсию.
Наличие безрискового актива расширяет возможности инвестора, так как он может комбинировать его с рисковыми активами. Такая задача инвестирования уже обсуждалась нами. Покажем геометрически, что для каждого инвестора, интересующегося только увеличением ожидаемой доходности портфеля и уменьшением его среднего квадратического отклонения, портфель инвестиций будет комплектоваться из некоторого фиксированного портфеля акций и безрискового актива.
Рис.5. Плоскость риск-доходность с добавлением безрискового актива
Для этого выберем на допустимой эффективной границе произвольную точку А. Ей соответствует какой-то портфель акций с ожидаемой доходностью и средним квадратическим отклонением . Комбинация из портфеля акций и безрискового актива определяет на плоскости риск-доходность точку, принадлежащую отрезку FA. Если прямая FA пересекает эффективную границу, то на самой границе можно найти точку В такую, что прямая FB имеет больший угол наклона, чем прямая FA. Тогда на отрезке FB найдется точка С, ордината которой совпадает с ординатой точки А, а абсцисса меньше абсциссы точки А. Таким образом, портфель , соответствующий точке В на плоскости риск-доходность, будет для инвестора более предпочтительным, поскольку, комбинируя с безрисковым активом, он дает возможность получать портфель инвестиций с такой же ожидаемой доходностью,