Рынок ценных бумаг. Оптимизация портфеля инвестиций
Курсовой проект - Банковское дело
Другие курсовые по предмету Банковское дело
действительных чисел
,
удовлетворяющих условию
, (8)
называется портфелем инвестиций. В большом количестве примеров помимо ограничения (8) вводится условие неотрицательности активов . Однако в общем случае можно предположить, что у инвестора имеется возможность взять взаймы любое количество акций и продать их на рынке в начальный момент времени. Такое действие называют открытием коротком позиции по акции , и в этом случае и - отрицательные числа. Через единицу времени инвестор обязан закрыть короткую позицию, вернув своему кредитору соответствующие акции. Обычная покупка акций , естественно, понимается как открытие длинной позиции по данной акции. В дальнейшем мы не будем ставить какие-либо ограничения на открытие короткой позиции по акциям, если это не будет оговариваться в контексте. Вне зависимости от коротких и длинных позиций по акциям будем считать, что балансовые уравнения (6) - (8) всегда вы полнены. Это означает, что весь капитал инвестора используется в портфеле инвестиций.
Рассчитаем теперь случайную величину доходности портфеля :
.
С учетом формул (6) - (8) получаем, что
.
Тогда ожидаемая доходность портфеля и его дисперсия находятся по формулам:
(9)
(10)
Полагая в качестве оценки риска портфеля меру случайности доходности портфеля - среднее квадратическое отклонение, для каждого допустимого портфеля на плоскости риск-Доходность можно отметить точки, координаты которых равны среднему квадратическому отклонению и ожидаемой доходности портфеля. В случае с запретом на открытие коротких позиций, когда , это приведет к рисунку 1. Данный рисунок показывает возможные соотношения между риском и доходностью на данном рынке. Заметим, что каждая точка в заштрихованной области соответствует портфелю инвестиций. Если инвестор заинтересован в максимизации ожидаемой доходности и минимизации риска (в данном случае среднего квадратического отклонения), то для него играет роль правило левого верхнего угла. Суть этого правила состоит в том, что если выбрать некоторый портфель и на соответствующей ему точке А на плоскости риск-доходность построить левый верхний угол, то любой портфель с соответствующей ему точкой А из построенного угла является для инвестора более предпочтительным, чем первоначально выбранный портфель (см. рис. 1).
Для каждого допустимого значения доходности можно выбрать граничную точку построенной области как точку, соответствующую портфелю инвестиций с заданной ожидаемой доходностью и наименьшим значением риска.
Рис. 1. Плоскость риск-доходность
На рисунке 1 это точка В. Понятно, что для инвестора координаты граничных точек и соответствующие им портфели являются наиболее важными с точки зрения оптимального выбора инвестиций, так как с учетом правила левого верхнего угла для любой внутренней точки области всегда найдется более предпочтительная точка на границе. Форма границы в общем виде имеет достаточно сложный вид, который в теории принято называть формой пули.
Главное свойство этой кривой состоит в том, что она является выпуклой влево. Этот факт основан на следующих рассуждениях. Рассмотрим простейший случай, когда на рынке имеются два вида акций, то есть N = 2. В этом случае область допустимых точек на плоскости риск-доходность будет кривой, которую можно определить параметрически следующим образом. Пусть t - параметр кривой. Положим = t - доля акций первого типа, = 1 - t - доля акций второго типа. Тогда допустимые портфели однозначно определяются параметром t. Нетрудно увидеть, что ожидаемая доходность такого портфеля
есть линейная функция от t. Соответственно, дисперсия доходности портфеля равна
И является квадратным трехчленом от параметра t. Поэтому Множество точек на плоскости риск-доходность будет частью гиперболы, проходящей через точки и , определяющих риск и доходность акций первого и второго типов соответственно (см. рис. 2). Для определенности на рисунке 2 рассмотрен частный случай, когда и. Все другие возможные случаи аналогичны.
Рис. 2. Кривая риск-доходность портфеля из двух акций
Рассмотрим теперь отрезок, соединяющий вершины и . Параметрически каждая точка этого отрезка определяется координатами , где
. (11)
Тогда для доказательства выпуклости влево построенной кривой необходимо убедиться, что для любого точка находится левее точки . Проверим, что в действительности
или
Для этого преобразуем формулу дисперсии доходности портфеля в следующем виде
Тогда с учетом (11) получаем, что
(12)
Так как параметр t берется из интервала (0,1), знак второго слагаемого в правом выражении выписанного равенства определяется разностью . Рассмотрим коэффициент корреляции , определяющий зависимость доходностей акций первого и второго типов. По определению, ковариация может быть получена из коэффициента корреляции по следующей формуле:
.
Подставляя это в равенство (12) и взяв корень, находим, что
. (13)
Так как коэффициент корреляции удовлетворяет неравенствам отсюда сразу следует, что , причем равенство здесь возможно только в том случае, если . Таким образом, при имеет место строгое неравенство , и, значит, вы?/p>