Рынок ценных бумаг. Оптимизация портфеля инвестиций
Курсовой проект - Банковское дело
Другие курсовые по предмету Банковское дело
?уклость влево построенной кривой. Как уже было замечено, если коэффициент корреляции равен единице, то и построенная кривая есть отрезок, соединяющий точки и . В этом вырожденном случае вероятностными методами нетрудно показать, что доходности и как случайные величины связаны между собой линейной зависимостью почти наверное:
п.н., (14)
с положительным коэффициентом линейной зависимости (здесь константы и неслучайны). Это означает, что рассматриваемые акции являются сильно зависимыми и риск инвестиций в портфель из этих акций может быть уменьшен только пропорционально уменьшению ожидаемой доходности портфеля. Противоположной данному случаю является ситуация, когда коэффициент корреляции . В этом случае также имеет место линейная зависимость (14). Если в результате доходность по одной акции оказалась отрицательной, то доходность по другой обязательно положительна. Последнее дает возможность снизить риски до минимального для этого вырожденного случая. Рассмотрим вид допустимой кривой на плоскости риск-доходность при условии . Подставляя это значение в формулы (11) и (13), получаем
В силу свойств модуля, в итоге имеем, что
Следовательно, в этом случае кривая будет представлять собой два прямых отрезка и (см. рис. 3). Нетрудно увидеть, что, при , и портфель является безрисковой инвестицией с неслучайной доходностью , равной
Это означает, что в рассматриваемой вырожденной ситуации можно подобрать портфель акций таким образом, что риск инвестиций в этот портфель станет нулевым.
Рис. 3. Зависимость кривой риск-доходность от коэффициента корреляции
Таким образом, допустимые кривые на плоскости риск-доходность являются дугами гиперболы с концами в точках и . Как видно из рисунка, чем меньше коэффициент корреляции по акциям, тем более выпуклой является дуга гиперболы, а значит, тем больше возможностей уменьшить риск по портфелю инвестиций.
. Простейшая модель оптимизации портфеля
привилегированный акция инвестиция цена
Допустим, что у нас имеется две возможности инвестирования. Первая - в безрисковый актив с доходностью . Это означает, что, инвестируя в этот актив, вне зависимости от случая мы всегда будем иметь прибыль, равную . Вторая возможность инвестирования представляется некоторой акцией (или портфелем акций), доходность по которой является случайной величиной с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Рискованность этого актива предполагается условием, что .
Портфель, состоящий из безрискового и рискового актива, однозначно будет определяться долей t капитала, инвестируемой в рисковый актив. Понятно, что оставшаяся часть капитала будет вложена в безрисковый актив. Введем ограничения на открытие коротких позиций по активам, предполагая, что . Таким образом, любое число t из отрезка определяет портфель инвестиций в безрисковый и рисковый активы. Для каждого такого портфеля его доходность определяется по формуле:
Тогда ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по каждому портфелю равны, соответственно,
и
Каждая из этих функций является линейной функцией от . Перед каждым инвестором стоит выбор оптимального портфеля по каким-то собственным критериям. Будем предполагать, что каждый инвестор интересуется только риском и доходностью портфеля, оценивая риск при этом средним квадратическим отклонением , Оптимальный портфель будет определяться каким-то конкретным значением .
Рассмотрим несколько различных вариантов оптимизационных задач, которые могут возникнуть перед инвестором.
. Максимум ожидаемой доходности. Предположим вначале, что инвестор не интересуется риском и оптимизирует портфель, стараясь получить максимум ожидаемой доходности. Тогда формально его задача имеет следующий вид:
.
Решение этой задачи зависит от знака линейного коэффициента . В зависимости от него имеется три возможных случая изменения ожидаемой доходности как функции от пара метра . представлены на. В первом случае, когда , функция возрастает и достигает своего максимума при . Это означает, что оптимальным в этом случае является портфель, когда все вкладывается в рисковый актив. Если же, наоборот, , то функция убывает, и оптимальный портфель состоит из инвестиций только в безрисковый актив. Наконец, в третьем случае, когда , функция является постоянной и любой портфель может быть оптимальным.
Следует заметить, что второй и третий случаи являются очевидными с точки зрения инвестора. Действительно, если ожидаемая доходность по рисковому активу не превосходит доходность по безрисковому активу: , то в любом случае инвестор предпочтет безрисковый актив рисковому и полностью вложит весь капитал в безрисковый актив: . Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только первый случай, когда . В этом случае предпочтение безрисковому активу не является очевидным.
. Задача Марковица. Наиболее часто встречаемая задача оптимизации портфеля была впервые описана Г. Марковичем и имеет следующую постановку. Допустим, что задан некоторый уровень доходности , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций, определ?/p>