Рынок ценных бумаг. Оптимизация портфеля инвестиций
Курсовой проект - Банковское дело
Другие курсовые по предмету Банковское дело
ции, влияние которой на значение цены акции или прибыли при инвестиции в нее порой носит неопределенный характер. В условиях такой неопределенности оценка требуемых величин может быть основана только на построении стохастических математических моделей. Такого рода модели довольно часто используются в экономике и основаны на логических принципах раздела математики, называемого теорией вероятностей.
Удобный способ формализации неопределенности состоит в использовании концепции состояния мира. Состояние полностью определяет все переменные, являющиеся внешними по отношению к рынку. Например, состояние может включать спрос на продукцию фирмы, цены ресурсов и полуфабрикатов и т. д. Представим себе всю экономику мира как некоторый случайный эксперимент. Тогда множество исходов этого эксперимента и есть множество состояний мира. В теории вероятностей такое множество называется пространством элементарных событий и обозначается . Тогда каждое элементарное событие есть исход нашего эксперимента или состояние мира. Принято различать пространство элементарных событий на два типа: дискретное и непрерывное. Под дискретным множеством состояний понимается конечное или счетное множество. Все остальные относятся к непрерывным.
Численной оценкой шансов появления того или иного случайного события А является его вероятность Р(А). Так как любое случайное событие, связанное с экспериментом, можно разложить на благоприятствующие ему исходы, то вероятность его появления однозначно определяется, если нам заданы вероятности элементарных событий. В случае дискретного вероятностного пространства это означает, что каждому возможному исходу приписана вероятность . Если же множество исходов непрерывно, то будем предполагать, что на задана некоторая числовая функция , являющаяся плотностью вероятности Р. Тогда вероятность события А определяется по формулам:
для дискретного случая
,
для непрерывного случая
.
Вероятность принимает неотрицательные значения и обладает свойством нормированности (т.е. ), введенные функции неотрицательны и удовлетворяют следующим соотношениям в дискретном и непрерывном случаях соответственно:
и
В условиях случайного эксперимента любой числовой параметр является функцией от возможного исхода .
Такие функции в теории вероятностей называются случайными величинами. Каждой случайной величине ставятся в соответствие ее числовые характеристики. Основными из них являются математическое ожидание E и дисперсия D. В случае дискретного вероятностного пространства они находятся по формулам:
(1)
(2)
Если вероятность определяется плотностью , то
(3)
(4)
В силу неотрицательности вероятностей дисперсия D есть величина неотрицательная. Поэтому можно определить квадратный корень из дисперсии:
Величина называется средним квадратичным отклонением. Очевидно, что . Как принято, данная величина характеризует стохастичность случайной величины . Это означает, что, чем больше , тем более случайной является функция . В частности, если , то с вероятностью 1 не зависит от исходов эксперимента, то есть является неслучайной константой.
Нетрудно показать, что для заданных констант А и В математическое ожидание и дисперсия случайной величины A+В выражаются через числовые характеристики случайной величины следующим образом:
, (5)
Если нам заданы две случайные величины и , то их совместное распределение определяет ковариацию cov(,) по формулам:
в дискретном случае
,
в непрерывном случае
.
Очевидно, что
.
Большое значение при оценке взаимовлияния случайных величин друг на друга имеет коэффициент корреляции определяемый как
.
В некотором смысле он понимается как косинус угла наклона между возможными направлениями двух случайных величин. Так же, как обычный косинус некоторого угла, коэффициент корреляции принадлежит отрезку [-1, 1], то есть .
2. Портфель инвестиций
Чтобы все фирмы были в равных по времени условиях, будем предполагать, что через единицу времени все фирмы ликвидируются, а полученные доходы распределяются среди акционеров в качестве дивидендов. Дивиденды, выплачиваемые на акции каждого типа, будем считать случайными величинами. Другими словами, существует некоторое пространство элементарных событий с заданной на нем вероятностью Р.
Через дивиденд, обозначим, выплачиваемый на акцию в состоянии . Пусть S - цена акции в начальное время. Тогда
является доходностью акции в состоянии . Так как это случайная величина, то ей можно поставить в соответствие математическое ожидание и дисперсию . Таким образом, каждой акции мы ставим в соответствие ожидаемую доходность и среднее квадратическое отклонение , = 1, 2,..., N. Взаимная зависимость акций определяется матрицей ковариации, каждый элемент которой равен
.
В частности,
.
Рассмотрим теперь некоторого инвестора, имеющего капитал W и желающего весь его инвестировать в имеющиеся акции с целью получения дохода через единицу времени. Допустим, что - число акций типа , купленных в начальный период. Тогда
. (6)
Обозначим через
(7)
долю инвестиций в акции . Набор