Решение уравнений в радикалах
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
p>
сумма
сумма.
Он отмечает, что вторая и третья задача дают чистый минус, а первая и четвертая - воображаемый минус. Он вычисляет суммы и произведения полученных ответов и подчеркивает, что первые всегда равны коэффициенту при первой степени неизвестной (), а вторые - свободному члену ().
Из приведенных примеров ясно, что Кардано понимал необходимость учета комплексных корней при решении квадратных уравнений. Но более того, в тех случаях, когда ему удавалось свести решение кубического уравнения (например, к решению квадратного (, которому удовлетворяли комплексные корни- , от внимания не мог ускользнуть тот факт, что среди корней исходного уравнения также имеются и корни комплексного вида: . Поэтому можно утверждать, что современное деление корней на положительные, отрицательные и комплексные, о котором впервые четко было заявлено в книге Новое открытие в алгебре (1629) голландца Альбера Жирара (1590- 1632) , ведет свое начало от Великого искусства. Но вместе с тем необходимо отметить, что Кардано, свободно складывавший и перемножавший мнимые числа, так и не понял окончательно их природы и считал их совершенно ненужными и бессмысленными. Именно по этой причине он не мог справиться с неприводимым случаем, заслуга в разрешении которого принадлежит Р. Бомбелли, А. Жирару и другим математикам.
Кардано знал и говорил о некоторых соотношениях между корнями и коэффициентами уравнения. В главе восемнадцатой, решая уравнения:
,
,
он делает вывод: Ясно, что коэффициент при второй степени неизвестной в этих примерах, в которых имеет три значения, всегда можно найти путем их сложения. Иначе говоря, для уравнения наблюдается соотношение , где - корни уравнения. Тот факт, что Кардано пришел к своему открытию через решение этого уравнения, легко объясним: оно является единственным из тринадцати кубических уравнений, у которого крайние деноминации равны средним переменным, и, таким образом, возможно появление трех положительных корней.
Впоследствии Кардано, однако, не подчеркивает, что это положение имеет особую силу, так как среди действительных корней обнаруживаются отрицательные корни при условии, что можно предположить следующее: сложить минус сводится к тому же, что и отнять плюс (глава восемнадцатая). Он приводит это выражение и в первой главе, поясняя уравнения , и говорит, что разность (абсолютной величины) между положительными и отрицательными корнями этого уравнения означает коэффициент при квадратичном члене. Кардано иллюстрирует свое утверждение с помощью уравнения , три корня которого равны 3,. Он знает, что это же положение относится и к уравнениям (16) и (17), в которых отсутствует член с и, значит, сумма корней равна нулю (при - три корня, один положительный и два отрицательных: абсолютная величина положительного корня является суммой абсолютных величин двух отрицательных корней). Действительно, Кардано сводит решение уравнения (17) к решению квадратного уравнения (25). Следовательно, (17) соответствуют две величины, для которых - положительный корень уравнения (23) - является суммой. Кроме того, знак минус перед означает, что сумма корней этого уравнения равна нулю (излишне говорить, что Кардано знал о зависимости, которая существует между корнями квадратного уравнения и коэффициентом при первой степени неизвестной).
Наконец, решение уравнения третьей степени, в котором встречается квадратичный член, Кардано сводит посредством подстановки к решению уравнения третьей степени без этого члена. Это уравнение должно иметь вид , если - действительные величины, для чего, как мы уже видели, должно соблюдаться равенство , следовательно, .
Таким образом, Кардано можно с полным правом считать предшественником Ф. Виета, Т. Гэрриота и А. Жирара, сформулировавших положение о зависимости коэффициентов и корней уравнений.
Скажем немного о результатах, полученных Кардано в других областях математики.
В Новом сочинении об отношениях чисел он касается некоторых вопросов комбинаторики, основываясь главным образом на рассмотрении свойств таблицы биноминальных коэффициентов, получившей впоследствии название треугольника Паскаля. Этот треугольник до него уже был опубликован М. Штифелем (1549), И.Шейбелем(1545), Ж. Пелетье (1549), Хр. Рудольфом (1553) и Н. Тартальей(1556). Он выписывает все пятнадцать сочетаний из шести элементов по два, утверждая без доказательства справедливость соотношения ; наконец, приводит правило для нахождения элементов треугольника Паскаля, из которого следует, что ему было известно важное соотношение
.
Если бы Кардано применил это правило для разложения двучленов, он мог бы предвосхитить биноминальную теорему для положительных степеней. Но вместо этого он обратился к примерам использования чисел треугольника в музыкальных гармониях.
До появления методов анализа бесконечно малых комбинаторика являлась основным аппаратом теории вероятности - еще одним разделом математики, привлекавшим внимание Кардано. Он рассматривал некоторые вероятностные задачи, связанные с игровыми ситуациями, в Практике арифметики, причем, как утверждает советский историк науки Л. Е. Майстров, фактически уже пользовался теоремой сложения вероятностей, которая появилась значительно позже.
Существенным шагом в развитии вероятностных представлений явилась другая его книга Об игре в кости. Тщател?/p>