Решение уравнений в радикалах
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
рецепт, по характеру своему напоминавший правила средневековых практических арифметик, был, конечно, вполне достаточен для механического решения кубического уравнения, но не давал никаких указаний для понимания решения и доказательства формулы. Более того, даже такой опытный математик, как Кардано, поначалу его не понял. Попытавшись испытать формулу на уравнении , он запутался, так как вместо ошибочно взял и вынужден был обратиться к автору рецепта за разъяснением. Тарталья в письме от 25 апреля 1539 года привел решение уравнения и объяснил Миланцу его ошибку, добавив, что справедливость и целесообразность такого способа действий (т.е. формулы) можно легко доказать геометрическим путем.
Итак, в начале мая 1539 года Кардано имел в своем распоряжении:
-зарифмованные правила решения уравнений (10) и (16);
-численный пример, разъясняющий применение правила для уравнения(10);
-указание на геометрический способ доказательства формулы.
Ему оставалось:
-найти правило решения уравнения(17);
-доказать справедливость… такого способа действия;
-найти способ решения остальных десяти кубических уравнений, иначе говоря, тех, в которых встречается квадрат неизвестной.
Результаты этих исследований Кардано вместе с изложением способа решения уравнений четвертой степени, предложенного Феррари, и образуют основное содержание Великого искусства.
Решение уравнений Тартальи обсуждается в одиннадцатой- тринадцатой главах книги и предварительно в главе шестой, где геометрическим путем доказываются три предполагаемых, чрезвычайно полезных выражения:
, (18)
, (19)
(20)
Если (18) и (19) записать в виде:
, (21)
, (22)
то из (22) следует, что удовлетворяет уравнению , когда определяются из уравнений ; аналогично из (21) видно, что удовлетворяет , если находятся из уравнений , что согласуется с capitolo in rima.Кардано предоставил читателям возможность самостоятельно найти решение уравнений , ограничившись лишь сообщением конечных результатов. Он привел также формулу решения (17), хотя и не указал, каким способом она была получена. Историки математики полагают, что это было сделано следующим образом.
Рассмотрим уравнение (17) и вспомогательное уравнение
. (23)
Сложив почленно (17) и (23), получим
. (24)
После деления обеих частей (24) на имеем
, (25)
,
где - корень уравнения(23),для которого применимо правило Тартальи. Здесь, таким образом, использован способ, который Кардано ранее уже применял в Практике арифметики.
Доказательство формулы Тартальи Кардано дает геометрическим путем на частном примере- уравнении .
Решению десяти уравнений третьей степени, в которых встречается слагаемое с ,Кардано посвящает главы с четырнадцатой по двадцать третью. Основная его идея состоит в том, чтобы, используя подстановки определенного вида, избавиться в этих уравнениях от квадратичного члена и свести их к одному из уравнений Тартальи. Иначе говоря, используя рациональное соотношение , он трансформирует различные типы уравнения в различные типы уравнения и определяет значения корней первого уравнения в функции корней у второго. Для уравнения Кардано применяет подстановку , в остальных девяти случаях использует выражения
(в зависимости от того, находится ли квадратичный член в правой или левой части соответственно). Кроме того, в уравнении он иногда избавляется от квадратичного члена с помощью подстановки , а в уравнении - с помощью .Кардано посвятил доказательству справедливости и целесообразности предложенных им подстановок отдельную, седьмую главу Великого искусства, видимо, стоившую ему большого напряжения.
Остановимся на одном моменте, связанном с решением кубических уравнений, в которых встречается слагаемое с первой степенью неизвестного. Если к такому уравнению применить преобразование ,тогда отрицательные значения трансформированного уравнения будут соответствовать положительным значениям исходного. Поэтому Кардано вынужден был принимать во внимание отрицательные и нулевые значения корней уравнения с . Признание отрицательных корней позволило ему, в частности, едва ли не первому прийти к мысли о существовании двух корней всякого квадратного уравнения. Однако подобно своим современникам Кардано рассматривал отрицательные числа как особый род величин, характеризуемый термином minus purum (чистый минус). Поэтому, не исключая из рассмотрения отрицательных корней, он не придавал им самостоятельного значения, называл их fictae(ложные) или falsae(фальшивые), в отличие от положительных, истинных(verae) корней, и рассматривал в качестве вспомогательного средства для нахождения положительных корней уравнений с неизвестной .
А для того чтобы найти отрицательные корни уравнения, Кардано пользуется еще одной подстановкой: .При этом преобразовании меняют знак слагаемые нечетной степени и остаются неизменными слагаемые четной степени, и, таким образом, уравнение трансформируется в другое, корни которого имеют то же абсолютное значение, что и у исходного, но противоположный знак. Нахождением отрицательного корня мы всегда находим соответствующий положительный корень другого уравнения, - пишет Кардано. Он замечает, в частности, что если уравнение содержит только слагаемые четной степени и постоянные ?/p>