Решение уравнений в радикалах
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
главная историческая ценность Великого искусства!
Прежде всего, заметим, что до появления этой книги уравнения с более чем одним корнем относили к диковинкам, а отрицательные корни, как правило, во внимание вообще не принимались. Кардано же, решая в восемнадцатой главе уравнения , нашел, что каждое из них имеет по три корня соответственно. Более того, в первой главе книги, написанной, вероятно, позже остальных глав, он приводит примеры уравнений, имеющих различное число корней:
ни одного отдельного корня,
один корень (2),
два корня (3, -7),
три корня (-3, 40-4, -40-4),
четыре корня (2, -2, 3, -3).
Кардано, таким образом, возводит исключение в правило и открывает перед алгеброй широкие горизонты, закладывая основы для определения характера и числа корней уравнения по его виду и виду его коэффициентов. В Великом искусстве он учит различать не только характер корней трехчленных кубических уравнений, но задолго до Декарта высказывает основополагающую идею правила знаков (Если в данном уравнении сосчитаем число перемен и повторений знаков между его последовательными членами, то окажется, что уравнение может иметь столько корней положительных, сколько перемен знаков, и столько корней отрицательных, сколько повторений знаков.) Относительно этого правила Кардано приводит в главе семнадцатой следующие соображения. Выделяя в уравнении крайние деноминации (члены) и средние, или вставные деноминации, он рассматривает такие случаи:
Крайние деноминации равны между собой (иначе говоря, все члены уравнения по одну сторону от знака равенства имеют более высокую степень, чем члены, находящиеся по другую сторону). Примеры: . В этом случае имеется одно изменение знака, и уравнение имеет один (положительный) корень.
Крайние деноминации равны средним. Примеры:. Здесь два изменения знака, и уравнение имеет два корня, если только оно не ложное.
Крайние и средние деноминации уравниваются, чередуясь между собой, как например, в уравнении . Здесь более чем два изменения знака, и уравнение может иметь три корня.
Кардано доказывает сформулированные положения. Например, в случае уравнения его рассуждения таковы. Имеются величины , говорит он, которые доставляют . Тогда по мере увеличения кубический член увеличивается быстрее, чем , а по мере того как становится меньше, уменьшается медленнее, чем , поскольку пропорция увеличивается и уменьшается вместе с соответствующим изменением .
Следовательно, неравенство можно преобразовать в равенство , которое можно заставить посредством изменения как увеличиваться, так и уменьшаться. Поэтому уравнение имеет два корня.
Конечно, подобные доказательства лишены строгости, и их следует рассматривать скорее как комментарии к сформулированным положениям. Кардано использует их в главе первой, где анализирует характер корней трехчленных кубических уравнений. Для уравнения (17), например, он указывает следующие возможные случаи:
при два корня, один положительный и один отрицательный, абсолютная величина положительного корня в два раза больше абсолютной величины отрицательного;
при - три корня, один положительный и два отрицательных: абсолютная величина положительного корня является суммой абсолютных величин двух отрицательных корней;
при - один корень, положительный.
Аналогичным образом анализируются остальные пять видов трехчленных уравнений. Как утверждал впоследствии голландский историк математики Н.Л. В. А. Гравелар, Карданово различение характера корней в трехчленных уравнениях даже с современной точки зрения едва ли оставляет желать лучшего.
Хотя Кардано при изложении результатов своего исследования ограничился действительными значениями корней, все же мнимые величины не ускользнули от его внимания. Он впервые столкнулся с ними при решении уравнения (17), когда при ему пришлось извлекать кубический корень из мнимой величины. После многих неудачных попыток, он понял, что столкнулся с неприводимым случаем (casus irreducibilis) и обратился за разъяснением к Тарталье, но тот не захотел (а точнее - не мог) помочь Миланцу. Этот неприводимый случай очень смущал Кардано, так как ограничивал применимость формулы дель Ферро - Тартальи. Он не понимал, почему, например, при решении уравнения получается бессмысленный результат , в то время как уравнению удовлетворяет истинный корень (рассматриваемое уравнение имеет два отрицательных корня:). Так же, как впоследствии Р.Бомбелли, он пытался свести кубические корни вида к виду , чтобы при сложении мнимые числа исчезли. Он посвятил много времени этим попыткам, получил интересные частные результаты, которые затем привел в Правиле Ализа, но окончательно справиться с неприводимым случаем так и не смог. Однако в процессе своих исследований Кардано сделал важный шаг в понимании природы мнимых величин, которые он называл минусом корня (radix m) или воображаемым минусом (m sophisticum).Решая задачу о делении 10 на две части, произведение которых равно 40 (то есть, определяя корень квадратного уравнения ), он получил . При этом он показал, что если с этими числами производить вычисления как с обычными двучленами и полагать , то они действительно будут удовлетворять условию задачи. В тридцать седьмой главе Великого искусства Кардано ставит одну за другой четыре задачи, которые сводятся к решению уравнения ; требуется найти две величины, для которых:
сумма;
сумма