Решение уравнений в радикалах
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
? если оно имеет положительные корни, то оно обладает столькими же отрицательными корнями с теми же абсолютными значениями.
Во многих главах Великого искусства Кардано приводит примеры кубических уравнений, которые могут быть решены не через общие формулы, а с помощью некоторых искусственных приемов. В частности, уравнения он рекомендует сначала преобразовать в , а затем извлечь кубический корень из обеих частей. Особенно много таких примеров в других книгах Миланца- Правило Ализа и Великое искусство арифметики.
Тридцать девятая глава Великого искусства посвящена уравнениям четвертой степени, их классификации и методам решения. Хотя Кардано привел в Практике арифметики несколько примеров уравнений четвертой степени, решенных им тем же приемом, который он применял и для кубических уравнений, найти общую формулу решения ему так и не удалось. Честь этого замечательного открытия принадлежит Лодовико Феррари.
Около 1540 года да Кои предложил ученику Кардано следующую задачу: Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, причем произведение первых двух частей равнялось 6. Легко видеть, что эта задача сводится к решению уравнения четвертой степени. Действительно, пусть есть средняя часть. Тогда по условию: , и, следовательно,
(26)
Следуя приему, предложенному Кардано, Феррари прибавил к обеим частям (26) по , обратив тем самым левую часть уравнения в полный квадрат:
(27)
Если бы правая часть (27) тоже была квадратом, то решение было бы очевидным. Поскольку это не так, то потребовалось дальнейшее развитие идеи Кардано, и Феррари задался целью найти выражение, содержащее новую неизвестную, которое, обращая в полный квадрат левую часть исходного уравнения, обращало бы (в зависимости от этой неизвестной) в полный квадрат также и правую часть. Обозначим новую неизвестную через Очевидно, что для того, чтобы левая часть (27) обращалась при добавлении к ней новой неизвестной в полный квадрат ,ее необходимо дополнить выражением .
Тогда (27) представится в виде
Или
(28)
Определим теперь из условия обратимости правой части в полный квадрат:
.
Отсюда получаем кубическое уравнение, которое называют обычно кубической резольвентой и которое позволяет определить (поделив результат на 2):
(29)
Полагая , представим (28) в виде:
,
откуда, после извлечения корня, имеем:
. (30)
Итак, остается подставить в (30) значение , найденное из (29), и решить квадратное уравнение.
Изложив метод Феррари, Кардано дал его геометрическое доказательство и показал, что предложенная процедура справедлива не только для различных видов уравнений четвертой степени типа (то есть уравнений без кубического слагаемого), но и для уравнений без линейного слагаемого (то есть , которые сводятся к уравнениям первого типа с помощью подстановки . Удивительно, что ни Феррари, ни Кардано не обратили внимания на то, что эта же процедура пригодна и для решения полного уравнения четвертой степени , так как подстановка приводит его к уравнению без кубического слагаемого. И.Цейтен замечает по этому поводу: Идея была слишком новой, чтобы Кардано попытался сделать из нее полную теорию, параллельно той, что он сделал для кубических уравнений, где любой пробел мог быть признаком незнания.
В той же тридцать девятой главе Кардано привел ряд примеров уравнений четвертой степени, которые он решил методом, отличным от предложенного Феррари.
После открытия способов решения уравнений третьей и четвертой степеней естественно ожидать появления попыток изыскания подобных же способов и для уравнений высших степеней. Принимал ли Кардано участие в этих попытках, неизвестно. Во всяком случае, он об этом не сообщает, ограничившись решением некоторых частных типов уравнений (например, уравнения в Правиле Ализа).
В двадцать седьмой - тридцать восьмой главах Великого искусства Кардано привел множество приемов, позволяющих решать некоторые уравнения специального вида (например, ,) ,путем введения облегчающих вспомогательных величин, и предложил метод приближенного нахождения корней. Суть этого метода, названного автором золотым правилом, состоит в следующем.
Пусть задано уравнение с положительными коэффициентами . Тогда если для положительного целого справедливо: и , то корень уравнения находится между значениями . Поскольку
,
то в качестве второго приближения можно выбрать и т.д. Золотое правило является дальнейшим развитием правила двойного ложного положения, широко применявшегося арабскими алгебраистами.
Итак, усилиями дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари в первой половине XVI века были открыты способы решения кубических уравнений четвертой степени. Предложенный Кардано прием искусственных подстановок оказался весьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он явился той почвой, на которой великому французскому математику Франсуа Виету (1540- 1603) удалось создать применяемый и сегодня общий способ преобразования уравнений. Но заслуги миланского врача этим не ограничиваются: он первым из математиков не только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений. И в этом