Решение уравнений в радикалах
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
результатам, полученным в алгебре до XV века. На это сочинение опирались в своем творчестве выдающиеся итальянские алгебраисты XV века - дель Ферро, Тарталья, Кардано и Бомбелли.
Основная алгебраическая проблема, занимавшая Кардано,- изыскание способов решений уравнений третьей и четвертой степеней. В соответствии с математическими традициями своего времени он рассматривал только уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например, уравнение ,где >0 или<0, распадалось у него на три отдельных случая: (эти уравнения вслед за Кардано назовем уравнениями Тартальи). Кардано никогда не записывал уравнения в канонической форме (Идея приравнивания уравнения нулю была чужда математикам Возрождения. Впервые каноническую форму уравнения привел англичанин Т.Гэрриот (1580- 1621) в книге Применение аналитического искусства.), но следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был равен единице. Математическая символика Кардано заимствована в основном у Пачоли.
Первые попытки решения кубического уравнения встречаются уже в Практике арифметики. Правда, Кардано удалось справиться лишь с уравнениями частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он с успехом использовал их и в Великом искусстве. Он подметил, что кубическое уравнение иногда удается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так, чтобы образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного! Например, если в обе части уравнения добавить ,то после преобразований можно получить или откуда .
Но частный результат, каким бы изящным методом он ни достигался, не идет ни в какое сравнение с общей формулой решения, которую Кардано так и не удалось отыскать. Поэтому можно представить себе его возбуждение, когда он узнал, что подобной формулой владеет простой учитель арифметики (Тарталья). В конце концов, Миланцу удалось заполучить великий секрет, и с этого времени начинается второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества. Но для того, чтобы по достоинству оценить результаты миланского врача, необходимо вернуться к работам Тартальи, ибо они были тем самым исходным пунктом, от которого началось восхождение Кардано к аналитическим вершинам.
Первым кубическим уравнением, решенным Тартальей, было уравнение вида
(1)
Он никогда не писал о пути, приведшем его к решению, но итальянскому историку математики Э.Бортолотти удалось восстановить ход его рассуждений. кардано кубический уравнение радикал
Предположим, что корнем (1) является выражение
. (2)
Возведем обе части его в квадрат и куб, получим соответственно
(3)
(4)
Умножим обе части (3) на , а обе части (4) на , сложение полученных результатов даст
(5)
Теперь разделим почленно (5) на :
. (6)
Из сравнения уравнений (1) и (6) следует, что
(7)
. (8)
Найдем из (7) и, подставив в (8), получим
. (9)
И если постоянный член уравнения (1) определяется выражением (9), то одним из его корней будет .
Это важный, но все-таки частный результат. Все, что удалось найти Тарталье, заключается в обнаружении одного из корней (1) и открытия способа составления кубического уравнения по его заданному корню типа Для того же, чтобы получить общую формулу решения, необходимо определить значение из (9), то есть опять-таки решить полное кубическое уравнение. Чего Тарталья сделать не мог.
Следующим его достижением было решение уравнения вида
(10)
Вероятно, так же как и в предыдущем случае, он попытался искать решение в форме какого- либо иррационального выражения и методом проб и ошибок привел к двучлену
(11)
Если возвести (11) в куб:
(12)
Помножим обе части (11) на :
(13)
и почленно сложить (12) и (13), то придем к уравнению
(14)
Из сравнения (10) и (14) следует, что
(15)
Из (15) получим уравнение для отыскания :
Оно решается в радикалах. Найдем отсюда
Таким образом, мы придем к знаменитой формуле, которая во всех учебниках алгебры именуется (не совсем справедливо) формулой Кардано:
Аналогичным путем, отправляясь от выражения
Тарталья получил решение уравнения вида
(16)
марта 1539 года он сообщил великий секрет Кардано в виде capitola in rima (главы в стихах):
Когда куб рядом с вещью
Вместе равны какому- либо числу,
То найди два других числа,
На него разнящихся,
Потом допусти и всегда держись
Этого правила, что их произведение
Должно равняться кубу трети вещи.
Возьми от них стороны куба
И правильно вычти их.
Остаток даст тебе искомую вещь…
(Куб рядом с вещью- это ; число- ; на него разнящихся-; произведение, равное кубу трети вещи- ; правильно вычти их-; остаток- это ).
Далее аналогичным образом излагалось правило решения уравнения (16); что касается третьего уравнения
, (17)
то здесь Тарталья ограничился следующим замечанием: третье выражение… разрешается вторым ввиду того, что по природе своей они почти совпадают.
Этот кулинарный