Параметрический резонанс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?татического резонансного пика, исключающую зависимость от скоростей сканирования частоты w при условии :
.(24)
Приведенные соотношения (5), (17), (24) для определения, основанные на законе равномерного движения материальной точки, и соотношения, полученные при приближенном вычислении интеграла Дюамеля, позволяют сформулировать следующие утверждения.
Утверждение 2. Резонансная частота явно выраженного k-го статического резонансного пика в первом приближении моделируется и определяется законом равномерного движения материальной точки.
Утверждение 3. Для определения резонансной частоты при моделировании законом равномерного прямолинейного движения материальной точки необходимо и достаточно реализации, по крайней мере, с двумя конечными и разными скоростями сканирования частоты при фиксации и запоминания двух частот максимумов огибающих полуразмахов колебаний динамических резонансных пиков, соответствующих скоростям сканирования частоты.
Утверждение 4. Для определения резонансной частоты статического резонансного пика методом сканирования частоты возбуждения необходимо и достаточно реализации, по крайней мере, двух режимов сканирования со скоростями при выполнении одного из условий:
1) или
) или
Утверждение 5. Для определения резонансной частоты явно выраженного k-го статического резонансного пика при реализации режимов сканирования частоты при неявной зависимости от значений скоростей сканирования необходимо и достаточно введение, по крайней мере, двух скоростей сканирования при выполнении двух условий:
.
Таким образом, здесь показана эквивалентность подходов параметрической идентифицируемости резонансных частот механических колебательных систем, основанных на приближенном вычислении интеграла Дюамеля, при использовании режимов сканирования частоты и применении модели равномерного движения материальной точки.
5. Новые результаты теории параметрического резонанса
Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова.
Рассматриваются линейные динамические системы со многими степенями свободы с периодическими коэффициентами, зависящие от многих параметров. Устойчивость тривиального решения в этих системах определяется с помощью теории Флоке. Дан вывод выражений для первых и вторых производных матрицы монодромии по параметрам в терминах матрицантов прямой и сопряженной задачи и производных от матрицы системы. Это позволяет получить производные простых мультипликаторов, а также их абсолютных значений по параметрам, а также использовать эти соотношения в градиентных методах для стабилизации или дестабилизации (резонанса) системы. Приведен численный пример стабилизации системы, описываемой уравнением Карсона-Камби. Затем исследуются сильные и слабые взаимодействия мультипликаторов на комплексной плоскости, и дается геометрическая интерпретация этих взаимодействий.
В качестве приложений развитой теории исследованы области резонанса для уравнения Хилла с демпфированием. Дано описание этих областей (половинок конусов) в трехмерном пространстве параметров. В качестве примера рассмотрен параметрический резонанс маятника с точкой подвеса, колеблющейся по произвольному периодическому закону. Другим важным приложением уравнения Хилла является исследование устойчивости периодических решений в динамике нелинейных систем. Показано, как с помощью полученных областей резонанса для уравнения Хилла находить устойчивые и неустойчивые периодические решения гармонически возбуждаемого уравнения Дуффинга.
Далее рассматриваются линейные колебательные системы со многими степенями свободы с периодическими коэффициентами, зависящие от трех независимых параметров: частоты и амплитуды периодического воздействия и параметра диссипативных сил, причем последние две величины предполагаются малыми. Исследуется неустойчивость тривиального решения (параметрический резонанс). Для произвольной матрицы периодического воздействия и положительно определенной матрицы диссипативных сил получены общие выражения для областей основного и комбинационного резонансов. Изучены два частных случая матрицы периодического возбуждения, часто встречающихся в приложениях: симметрической матрицы и стационарной матрицы, умноженной на скалярную периодическую функцию. Показано, что в обоих случаях области резонанса в первом приближении представляют собой конусы в трехмерном пространстве параметров. Полученные соотношения позволяют проанализировать влияние возрастания частот собственных колебаний и номера резонанса на области неустойчивости. Метод исследования областей параметрического резонанса, предложенный в данной работе, является новым и строгим. Он основан на анализе поведения мультипликаторов на комплексной плоскости и использует формулы для производных матрицы монодромии по параметрам.
В качестве механических примеров получено решение задачи В.В. Болотина об областях динамической устойчивости плоской формы изгиба балки, нагруженной периодическими моментами, и решена задача об устойчивости упругого стержня переменного сечения, сжатого периодической продольной силой.
Заключение
В данной работе мною изучалась теория параметрических колебаний и теория параметрического резонанса. Были рассмотрены несколько вариантов параметрического возбуждения, а именно: колебания