Параметрический резонанс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
·ователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор в две выходные волны более низкой частоты (?s, ?i). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.
Параметрический резонанс - это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью .
Параметрами одномерного осциллятора движущегося с трением, являются его масса m, коэффициент упругости k и коэффициент затухания ?. Если эти коэффициенты зависят от времени и m = m(t),k = k(t),? = ?(t), то уравнение движения имеет вид
(1)
Сделаем замену переменной времени t >?, где d? = m(t)dt, что приводит уравнение (1) к виду
(2)
Сделаем еще одну замену x(?) > q(?):
(3)
Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:
(4)
Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1), достаточно рассмотреть уравнение движения вида
(5)
которое получилось бы из уравнения (1) при m = const.
Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В случае периодической зависимости ?(t) уравнение (5) является частным случаем уравнения Хилла, а в случае гармонической зависимости ?(t) - частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.
. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид
(6)
Где ?0 - частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты h 0. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение x(t) неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда
(7)
2. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид
(8)
Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов h2, происходит в случае, когда
(9)
В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для уравнения колебаний имеют вид
(10)
где , и . В случае, когда a < < l и ограничиваясь первым порядком разложения по h, получим, что
(11)
Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний ? = ?0 и её удвоенного значения ? = 2?0, - не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения
(12)
Параметрический резонанс имеет место, когда
(13)
Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника ?0, а ширина резонанса равна h?0. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении
(14)
Имеет место явление параметрического резонанса не при любых h < < 1, а лишь при тех . Т.о., при наличии трения
,(15)
что позволяет надлежащим выводом параметров ?,?0, и h, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.
4. Параметрическая идентифицируемость механических колебательных систем, основанная на модели равномерного движения материальной точки
При исследовании и анализе механических систем применяют дискретные и непрерывные методы, основанные на использовании гармонических возбуждающих воздействий. В частности, находят применение методы анализа, базирующиеся на экспериментальном снятии амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) исследуемых объектов.
При снятии АЧХ применяют методы: сканирования частоты возбуждающего испытуемый объект воздействия, одновременное возбуждение испытуемого объекта конечным числом гармонических сигналов с разными частотами, возбуждение случайным сигналом, имеющим характер белого или розового шума, детерминированной или случайной последовательностью импульсных сигналов разной формы, модулированных по амплитудным значениям , временному положению, полярности, площади и др.
Более достоверную информацию получают при использовании режимов сканирования частоты по сравнению с методами, основанными на использовании импульсной переходной функции исследуемого линейного объекта за счет обеспечения более высокого значения сигнал/помеха.
Снятие АЧХ методом сканирования частоты является распространенным. Усложнение тако