Параметрический резонанс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
дачах о колебаниях действующие силы можно было отнести к одной из трех категорий:
позиционные (в частности, восстанавливающие) силы, зависящие только от обобщенных координат q;
диссипативные силы, определяемые обобщенными скоростями q1;
вынуждающие силы, являющиеся заданными функциями времени t.
Однако существуют силы более сложной природы, в частности нестационарные позиционные силы, которые зависят от координат q1, а также от времени t (в явном виде):
1 = Q1(q1, q2, ..., qs, t) (j = 1, 2, …, s),
и притом так, что их невозможно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит только от координат, а другое - только от времени.
Ограничимся рассмотрением линейных систем с одной степенью свободы, когда при малых отклонениях от положения равновесия обобщенная сила определяется выражением
= -cq,
причем, в отличие от случаев действия стационарных восстанавливающих сил, параметр c = c(t) является функцией времени.
Дифференциальное уравнение движения
Aq + c(t)q = 0
содержит переменный коэффициент и описывает параметрические колебания. Как мы увидим ниже, свойства движения, описываемого уравнением, существенно отличаются от свойств свободных колебаний, определяемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Важное значение имеют нередко встречающиеся в приложениях случаи периодического изменения параметра, когда
c(t + T) = c(t).
Соответствующие этим случаям колебания называются параметрическими возбуждаемыми или, короче, параметрическими.
Решением дифференциального уравнения при таком условии мы займемся ниже, но уже здесь отметим, что амплитуды параметрических колебаний- в зависимости от значений постоянных системы- либо остаются ограниченными, либо возрастают во времени. Очевидную опасность представляют колебания с возрастающими амплитудами; это явление называют параметрическим резонансом. По некоторым признакам, о которых будет сказано ниже, параметрический резонанс существенно отличается от "обычного" резонанса и в определенном смысле опаснее последнего.
1.2 Параметрические колебания около положения равновесия
Прежде чем обратиться к решению дифференциального уравнения и исследованию возможности параметрического резонанса, рассмотрим некоторые простые механические системы, колебания которых являются параметрическими; в этих случаях часто параметрическими называют и сами системы.
В качестве первого примера рассмотрим симметричную абсолютно жесткую балку длиной 2l со средней шарнирно неподвижной опорой и двумя упругими опорами на концах. Коэффициенты жесткости упругих опор одинаковы и равны с0. К балке приложена переменная горизонтальная сила P(t), заданная в виде периодической функции времени. В положении равновесия ось балки горизонтальна. При малых отклонениях балки от положения равновесия (см. штриховую линию на рисунке) на нее действует момент сил упругости -с0?l2 и момент продольной силы P(t)?l; полный момент, представляющий собой обобщенную силу в данной задаче,
M=-[c0l-P(t)]?l,
оказывается функцией координаты ? и времени t. Соответствующее дифференциальное уравнение движения имеет вид
-[c0l-P(t)]l? = I?
(где I- момент инерции балки относительно оси вращения), или
?+
Другим примером может служить маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса. Пусть l- длина маятника, m- масса груза, y=y(t)- заданный периодический закон движения точки подвеса.
Дифференциальное уравнение малых относительных колебаний маятника имеет вид (-mg - my)l? = ml2? (-my- переносная сила инерции), или
?+?=0;
как видно, эта система также относится к типу параметрических.
В качестве третьего примера рассмотрим вертикальный безмассовый упругий стержень 2 длиной l, показанный на рис б. С концом стержня связан сосредоточенный груз 4. Верхней опорой служит неподвижный шарнир 1, а нижней опорой служит втулка 5 с коротким подшипником. Если считать подшипник шарнирной опорой и пренебречь влиянием силы тяжести груза, то коэффициент изгибной жесткости балки определяется формулой теории сопротивления материалов
с=,
где s- расстояние между опорами.
Втулке задано периодическое движение около некоторого среднего положения, определяемого расстоянием s0. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня.
При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение груза описывается дифференциальным уравнением
+=0,
которое также относится к рассматриваемому здесь типу.
Исследование решений подобных дифференциальных уравнений позволит судить об устойчивости состояния равновесия, около которого происходят колебания. Если параметрически возбуждаемые колебания постепенно затухают (или по крайней мере не имеют тенденции к возрастанию), то состояние равновесия следует признать устойчивым; если же колебания происходят с возрастающими амплитудами (параметрический резонанс), то состояние равновесия неустойчиво. Поэтому в подобных случаях самым важным является выяснение основной тенденции параметрических колебаний.
1.3 Параметрические колебания около стационарного режима движения
К необходимости исследовать свойства решений дифф