Параметрический резонанс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
еренциальных уравнений с переменными коэффициентами приводят также задачи об устойчивости стационарных режимов движения. Обычно дело сводится к следующему.
Допустим, что после решения некоторой задачи о движении механической системы найден режим движения, описываемый функцией q=q(t). Для исследования устойчивости этого режима необходимо предположить, что он каким-либо образом нарушен и возмущенное движение описывается функцией q+?q, близкой к функции q(t); здесь ?q(t)- вариация функции q(t), т. е. отклонение системы от исследуемого режима движения. Если функция ?q с течением времени возрастает, то исследуемый режим q = q(t) неустойчив; в случае постепенного затухания функции ?q режим q = q(t) устойчив.
Как оказывается, для функции ?q(t) в ряде случаев можно получить дифференциальное уравнение. Характер решения этого уравнения позволяет сделать заключение об устойчивости режима движения q = q(t).
Поясним сказанное примером из области вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой. Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет вид
aq+F(q)=Q(t),
причем F(q) и Q(t)- заданные функции координаты и времени. Как мы знаем, решение этого уравнения может быть неоднозначным и возможно существование нескольких стационарных режимов с различными амплитудами
q1=q1(t), q2=q2(t), q3=q3(t).
Так как среди этих режимов физически осуществимы только устойчивые режимы, то полное решение задачи о вынужденных колебаниях должно содержать не только выяснение (точное или приближенное) возможных режимов, но и анализ их устойчивости.
Для исследования устойчивости какого-либо из найденных режимов, например режима q1= q1(t), предположим, что он каким-либо образом возмущен и, следовательно, движение системы будет описываться суммой q1+?q1; здесь второе слагаемое, ?q1, представляет собой возмущение функции q1.
Об устойчивости стационарного режима q1=q1(t) можно судить по характеру изменения во времени возмущения ?q1. Если выяснится, что при t ? возмущение ?q1 0 или остается ограниченным, то возмущенное движение будет стремиться к стационарному режиму или оставаться вблизи него; следовательно, последний устойчив. Если же при t ? вариация ?q1 неограниченно возрастает, то исследуемый стационарный режим неустойчив.
Решение q1(t) должно удовлетворять дифференциальному уравнению:
аq1+F(q1)=Q(t);
параметрический синус механический колебательный
но тому же дифференциальному уравнению должна удовлетворять также функция q1+?q1:
1+a?q1+F(q1+?q1)=Q(t).
Рассматривая малые величины ?q1, мы можем принять
(q1+?q1)?F(q1)+F'(q1)?q1,
где штрих обозначает дифференцирование по координате q1, т.е.
1+a?q1+F(q1)+F'(q1)?q1= Q(t).
Вычитая первое уравнение из второго уравнения, получим
a?q1+F'(q1)?q1=0.
Но так как q1 представляет некоторую известную функцию времени (стационарный режим), то и F'(q1) также является функцией времени.
Пусть, например,
(q)=?q3, Q(t)=Hsin ?t,
и необходимо исследовать устойчивость стационарного режима
q1=А1 sin ?t.
В данном случае
'(q)=3?q2=3?A21 sin2?t
и для вариации стационарного режима получим дифференциальное уравнение
?q+(3?A21 sin2 ?t)?q=0.
В следующих двух параграфах будут рассмотрены решения дифференциальных уравнений, которое запишем в виде
q+k2(t)q=0.
Однако сразу отметим, что интегрирование этого уравнения при произвольной периодической функции k2(t) весьма сложно. Поэтому ниже мы остановимся только на двух относительно простых случаях, когда изменение параметра следует периодическому кусочно-постоянному закону либо закону синуса (в обоих случаях с дополнительным постоянным слагаемым).
Параметрическое возбуждение по периодическому кусочно-постоянному закону
. Колебания при отсутствии трения. Рассмотрим случай, соответствующий случаю, при котором дифференциальное уравнение принимает вид:
+k20(1)q=0,
где =?k2/k20.
Ввиду того что в течение каждого полупериода Т/2=?/k0 дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, можно воспользоваться способом припасовывания.
Рассмотрим какой-либо период Т изменения коэффициента к2 и совместим с началом этого периода начало отсчета времени. В первом полупериоде, когда 0 < t < Т/2, дифференциальное уравнение имеет вид
1+k20(1)q1=0,
а во втором полупериоде Т/2 < t < Т соответственно будет
2+k20(1)q2=0.
Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют решения
q1=С1 sin k1t+D1 cos k1t,2=C2 sin k2t+D2 cos k2t,
причем k1=k0 , k2= k0 . В этих решениях содержатся четыре постоянные, C1, D1, С2, D2, для определения которых необходимы четыре условия. Два условия относятся к моменту времени t = Т/2, общему для обоих полупериодов; в указанный момент должно быть
1= 2, 1 = 2.
Это дает следующие соотношения:
C1 sin + D1 cos = С2 sin + D2 cos,1 (C1 cos - D1 sin) = k2 (C2 cos - D2 sin).
Запишем еще два соотношения:
?q1(0)=q2(T), ?1(0)=2(T)
в которых ?- некоторое, пока неизвестное число.
Соотношениями утверждается, что по истечении рассматриваемого периода обобщённая координата и обобщенная скорость изменяются в ? раз. Соответственно этому движение в следующем периоде начнется при измененных в ? раз начальных условиях, т. е. будет повторять движение в рассматриваемом периоде, но в измененном в ? раз масштабе.
Если > 1, то колебания в каждом следующем периоде будут у