Параметрический резонанс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
p>
более жесткого, чем условие > 1, полученное выше для случая отсутствия трения. В частности, при h > 0 условие выполняется, т. е. параметрический резонанс невозможен. Это означает, что для возникновения параметрического резонанса необходима некоторая, достаточно большая, глубина пульсации . В целом трение оказывает стабилизирующее действие и приводит к некоторому сужению областей неустойчивости.
Параметрическое возбуждение по закону синуса
. Общие сведения. Этот случай изменения параметра иллюстрирован на рис. б. Соответствующее дифференциальное уравнение движения запишем в виде
Как в предыдущем параграфе, здесь k0- среднее значение собственной частоты, - относительная глубина пульсации переменного коэффициента. Дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами называется уравнением Матье. Обычно это уравнение записывают в форме
к которой можно прийти, положив в уравнении
Решениями уравнения служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробно изучены. Как и в случае рассмотренного в предыдущем параграфе параметрического возбуждения, эти решения могут быть или ограниченными, или неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих этим случаям областей параметров а и ? приводит к диаграмме устойчивости, которая дана в готовом виде на рис. (диаграмма Айнса- Стретта); она сходна с диаграммой устойчивости, изображенной на рисунке. Границам между областями устойчивости и неустойчивости соответствуют периодические дви5кения. Диаграмма устойчивости симметрична относительно оси а, так как знак ? в уравнении не имеет значения.
Если дифференциальное уравнение задачи приведено к той форме, то но данным значениям а и ? с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать заключение об устойчивости или неустойчивости системы. Как и выше, речь может идти либо об устойчивости состояния равновесия (q- отклонение от этого состояния), либо об устойчивости некоторого основного движения (в этом случае под q следует понимать вариацию координаты).
Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров а, ? может быть применен способ гармонического баланса. На границах первой области неустойчивости движение должно быть периодическим, причем период, как мы видели в предыдущем параграфе, вдвое больше периода изменения параметра. Но период изменения параметра в уравнении равен ?, так что указанное движение имеет период 2? и его можно представить в виде ряда
Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим их сумму в уравнение; приравнивая нулю коэффициенты при sin ? и cos ?, получаем два однородных уравнения
из которых следуют уравнения обеих границ:
Эти уравнения можно уточнить, принимая во внимание большее число членов ряда. Приведем без вывода более точные уравнения для первых четырех областей неустойчивости, обозначая значения а на границах n-й области неустойчивости через и :
В заключение заметим, что трение несколько суживает границы областей неустойчивости, подобно тому как ото было пояснено в предыдущем параграфе.
. Примеры.
Пример 1. Найти условия устойчивости вертикального состояния равновесия обращенного маятника (рис.), если точка его подвеса гармонически колеблется около среднего положения по закону y=A cos ?t с частотой ? и амплитудой А. Длина маятника равна l.
Понятно, что при неподвижной опоре обращенный маятник неустойчив; однако, как мы сейчас увидим, колебания опорной точки могут придать устойчивость такому маятнику. Составляя дифференциальное уравнение относительного движения, необходимо учесть переносную силу инерции-
Ее момент составляет , и уравнение моментов запишется в форме
Для приведения уравнения к такому виду положим
Как видно, в пашем примере оба параметра а и ? отрицательные. Знак ? вообще роли не играет (об этом уже говорилось выше), и главной особенностью рассматриваемой системы является
отрицательность величины а. Как видно из диаграммы устойчивости, устойчивость возможна и при отрицательных значениях а; действительно, каждому значению е отвечает некоторая, довольно узкая область значений а < 0, в пределах которой состояние равновесия устойчиво. Эти значения лежат в интервале < а < , т. е.
При малых амплитудах колебаний А, т. е. малых значениях параметра ?, правое неравенство удовлетворяется при любых отрицательных значениях а и практически остается лишь одно неравенство а > - ?2, т. е.
Подставляя сюда выражения а и е, получим условие устойчивости в виде
Это неравенство определяет нижний уровень максимальной скорости A? колебаний точки подвеса, который обеспечивает устойчивость опрокинутого маятника; как видно, указанная скорость должна превышать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника.
Пример 2. Исследовать устойчивость режимов стационарно движения
q = A1 sin ?t (i = 1, 2, 3)
в системе с нелинейной восстанавливающей силой F(q) = ?q3.
Дифференциальное уравнение относительно вариации ?q было составлено выше. Запишем его в виде
где коэффициен?/p>