Параметрический резонанс
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
силиваться, а если < 1, то они будут постепенно затухать. Таким образом, устойчивость или неустойчивость системы определяется значением модуля ?.
Подставив решения в соотношения, получим
1=С2 sin k2T + D2 cos k2T,
?C1k1=С2k2 cos k2T - D2k2 sin k2T.
Система уравнений однородна относительно постоянных С1, D1, C2, D2 и имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из ее коэффициентов.
Развернув определитель, получим следующее квадратное уравнение:
?2-2A?+1=0,
в котором для краткости обозначено
A= - = cos ?? cos ?? - sin ?? sin ??
причем ?=k0T/(2?) есть отношение среднего значения k0 собственной частоты к частоте пульсации параметра. Корни уравнения следующие:
?1=A-, ?2=A+.
Для того чтобы числа ?1 и ?2 были вещественными, как это предполагается по смыслу решаемой задачи, должно быть > 1, т. е. либо А > 1, либо А < 1. Но в обоих этих случаях модуль одного из корней больше единицы:
если A > 1, то ?2 > 1;
если А 1.
Отсюда следует, что если выполнено неравенство, то колебания будут с каждым новым периодом увеличиваться. Неравенство представляет собой не только условие вещественности множителя ?, но одновременно и условие возникновения параметрического резонанса.
Так как значение А зависит от двух постоянных системы ? и , то их значения полностью определяют устойчивость системы.
На рисунке представлена построенная с помощью условия диаграмма устойчивости, по осям которой отложены значения 4?2 и 2?2. В незаштрихованных областях значения параметров ? и таковы, что условие выполняется, т. е. система неустойчива. Заштрихованные области диаграммы соответствуют устойчивым состояниям системы. С помощью такой диаграммы можно сразу судить об устойчивости по данным значениям ? и без всяких дополнительных вычислений.
Прежде всего обратим внимание па те зоны областей неустойчивости, которые расположены вблизи горизонтальной оси, т. е. соответствуют малым значениям параметра . Как видно, в этих зонах 4?2 ? n2, т. е.
? ? (n=1,2,…)
То же можно найти, положив = 0. В самом деле,
А = cos2 ?? - sin2 ?? = cos 2??,
т. е. при произвольных значениях а имеем ? 1. Равенство = 1, соответствующее возникновению параметрического резонанса, возможно при условии, что аргумент 2?? удовлетворяет равенству
2?? = ?n (п = 1, 2, ...),
из которого также следует соотношение.
Таким образом, если выполняется условие, то параметрический резонанс возникает при сколь угодно малой глубине пульсации. При этом основное значение имеет случай n = 1 когда ? = 1/2, т. е. когда среднее значение собственной частоты вдвое меньше частоты параметрического возбуждения.
При значительной глубине пульсации и заметном отличии от нуля параметрический резонанс возникает в целых областях значений ?, расположенных вблизи значений; чем больше заданное значение , тем шире эти области. По этой причине отстройка от параметрического резонанса труднее, чем от обычного резонанса; параметрический резонанс более опасен, чем обычный, еще и по той причине, что линейное демпфирование (которое выше вообще не учитывалось) лишь несколько суживает области неустойчивости, но неспособно ограничить возрастание амплитуд колебаний в этих областях).
Пример. Груз 1 массы m упруго подвешен на цилиндрической витой пружине 2 длиной l; коэффициент жесткости пружины равен с. Разрезная втулка 3 периодически обжимает верхнюю часть пружины так, что длительность каждого обжима t* равна длительности интервала между двумя последовательными обжимами. Длина деформируемой части пружины при обжиме мало отличается от длины l (рис.). Найти наименьшее значение t*, при котором возникает параметрический резонанс.
Замечая, что период изменения жесткости Т = 2t*, и учитывая малость глубины пульсации, запишем условие параметрического резонанса:
? = k0Т/(2?) = n/2 (n = 1, 2, .. .).
Подставляя сюда k0 = , Т = 2t*, находим
t* = ;
наименьшее значение t* соответствует n = 1:
t* = ,
т. е. вчетверо меньше периода свободных колебаний груза.
. Влияние линейного трения. При наличии вязкого трения вместо дифференциального уравнения имеем
+ 2q + k20 (1)q = 0,
в котором по-прежнему h = , где b- коэффициент вязкости, а- инерционный коэффициент. Рассуждая, запишем решение для обоих полупериодов:
1 = C1e-ht sin k*1t + D1e-ht cos k*1t,2 = C2e-ht sin k*2t + D2e-ht cos k*2t,
где
*1 = =
= =
Условия в момент t = Т/2 имеют вид
q1= 2, 1 = 2.
или
Далее составляем два условия типа:
т. е.
Четыре уравнения образуют систему, однородную относительно постоянных C1, D1, С2, D2; отличные от нуля решения соответствуют случаю, когда равен нулю определитель, составленный из коэффициентов системы, развернув который, придем к квадратному уравнению
В каждом конкретном случае по заданным значениям k0, , h, Т можно вычислить значения А1 и B1, а затем определить корни ?1 и ?2 квадратного уравнения. Признаком неустойчивости служит вещественность корней и нeравенство > 1 для наибольшего по модулю корня.
Не останавливаясь на подобном исследовании корней, заметим, что для их вещественности (т. е. для неустойчивости системы) необходимо выполнение условия