Оценка энергетических показателей электроплавки медно-никелевого сырья при переходе на брикетированную шихту
Дипломная работа - Разное
Другие дипломы по предмету Разное
В¶ат независимые переменные только в первой степени:
(3.2)
где - свободный член;
- коэффициенты регрессии;
- факторные признаки.
Если связь между результативным признаком и анализируемыми факторами нелинейная, то выбранная для ее описания нелинейная многофакторная модель (степенная, показательная и т.д.) может быть сведена к линейной путем линеаризации.
Параметры уравнения множественной регрессии, как и парной, расiитываются методом наименьших квадратов, при этом решается система нормальных уравнений с k+1 неизвестным:
(3.3)
где хij - значение j-го факторного признака в i-м наблюдении;
yi - значение результативного признака в i-м наблюдении
.
Суть метода наименьших квадратов заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.
(3.4)
(минимизируются квадраты отклонений, поскольку ).
Как правило, прежде чем найти параметры уравнения множественной регрессии, определяют и анализируют парные коэффициенты корреляции. При этом систему нормальных уравнений можно видоизменить таким образом, чтобы при вычислении параметров регрессии использовать уже найденные парные коэффициенты корреляции. Для этого в уравнении регрессии заменим переменные y, x1, x2,тАж, xk переменными tj, полученными следующим образом:
(3.5)
Эта процедура называется стандартизацией переменных. В результате осуществляется переход от натурального масштаба переменных xij к центрированным и нормированным отклонениям tij. В стандартизированном масштабе среднее значение признака равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1, т.е. , .
При переходе к стандартизированному масштабу переменных уравнение множественной регрессии принимает вид
, (3.6)
где - коэффициенты регрессии.
В этом уравнении ? - коэффициенты представляют собой стандартизированные коэффициенты множественной корреляции. Смысл их легко понять, если в уравнении регрессии вместо каждого tj, кроме какого-либо одного, подставить его среднее значение . Тогда соответствующий ? -коэффициент будет характеризовать изменение исследуемого показателя в зависимости от изменения одного фактора при постоянном уровне остальных. Иными словами, ? -коэффициент показывает, на какую часть сигмы (?y) изменилось бы значение результата, если бы соответствующий j -фактор изменился на сигму (?xj), а прочие факторы не изменились бы.
Кроме того, ? -коэффициенты позволяют оценить степень воздействия факторных признаков на результат. В силу того, что все ? -коэффициенты выражены в одинаковых единицах измерения, при ?2 > ?3 фактор x2 сильнее влияет на результативный признак, чем фактор x3.
Свободный член в стандартизированном уравнении отсутствует, так как
. (3.7)
Параметры уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе и уравнения регрессии в стандартизированном виде взаимосвязаны:
. (3.8)
Нетрудно заметить, что это обычная формула коэффициента регрессии, выраженного через линейный коэффициент корреляции.
Стандартизированные коэффициенты множественной регрессии ?j также вычисляют методом наименьших квадратов, который приводит к системе нормальных уравнений
(3.9)
где - парный коэффициент корреляции результативного признака у с j- м фактором;
- парный коэффициент корреляции j-го факторного признака с l-м фактором.
После того как получено уравнение множественной регрессии (в стандартизированном или натуральном масштабе), необходимо измерить тесноту связи между результативным признаком и факторными признаками. Для измерения степени совокупного влияния отобранных факторов на результативный признак расiитывают совокупный коэффициент детерминации R2 и совокупный коэффициент множественной корреляции R - общие показатели тесноты связи многих признаков независимо от формы связи.
Совокупный коэффициент детерминации R2 характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную изменением всех факторов, входящих в уравнение множественной регрессии.
Приведем несколько формул для раiета совокупного коэффициента детерминации.
, (3.10)
где - факторная дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака, обусловленную вариацией включенных в анализ факторов;
- общая дисперсия результативного признака;
остаточная дисперсия, характеризующая отклонения фактических уровней результативного признака yi от расiитанных по уравнению множественной регрессии .
При линейной форме связи раiет совокупного коэффициента детерминации можно выполнить, используя парные коэффициенты корреляции:
, (3.11)
где а1, а2, тАж, ак - параметры уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе.
Легко вычислить совокупный коэффициент детерминации, используя уравнение регрессии в стандартизированном виде:
(3.12)
Совокупный коэффициент множественной корреляции R представляет собой квадратный корень из совокупного коэффициента детерминации R2. Пределы изменения совокупного коэффициента множественной корреляции:0?R?1. Чем ближе R к 1, тем точнее уравнение множественной линейной регрессии отражает реальную связь. Иначе говоря, среди отобранных факторов прису