Оценка состояния объекта, подвергающегося воздействию наводнения, на основе построений функции принадлежности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
тся функцией принадлежности A:X>X[0;1], A - степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A для каждого xX. Таким образом, нечеткое множество B -совокупность пар вида (x, (x)), где xB.
Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует определяемому нечеткому множеству.
Функция принадлежности интерпретируется как степень принадлежности элемента X нечеткому множеству A для любого xX.
Если X - дискретно (X = {x1,x2,...,xn}), то A = 1/x1 + 2/x2 + ... + n/xn
(знак / означает при, знак + означает объединение), где член mi/xi, i=1,...n означает, что mi есть степень принадлежности xi в A и знак суммы представляет объединение.
Пример: Предположим, что мы хотим определить множество натуральных чисел близких к единице. Зададим базовое множество X = {-2,-1,0,1,2,3,4}
A = 0/-2 + 0.3/-1 + 0.6/0 + 1/1 + 0.6/2 +0.3/3 + 0/4
Графически множество натуральных чисел близких к единице представлено так:
Если X - непрерывно, то A(t) = f(t).
Пример: Функция принадлежности нечеткого множества действительных чисел близких к 1 может быть определена как A(t)=exp(-b(t-1)2), где b-положительное действительное число.
Нечеткое множество называется нормальным, если
.
Во многих случаях люди могут охарактеризовать численную информацию только приблизительно. Например, человек использует такие выражения, как около 5000, близко к нулю, существенно больше 5000. Это примеры того, что называют нечеткими числами. Используя теорию нечетких множеств, мы можем представить такие нечеткие числа как нечеткие подмножества множества действительных чисел.
Нечеткое множество A называется триангулярным нечетким числом с вершиной (центром) a, шириной слева ?>0, шириной справа ?>0, если его функция принадлежности имеет вид:
Триангулярное нечеткое число с центром a можно понимать как нечеткую величину x приблизительно равен a.
Нечеткое множество A называется трапецеидальным нечетким числом с интервалом допуска [a;b], шириной слева ?>0, шириной справа ?>0, если его функция принадлежности имеет вид:
Трапецеидальное нечеткое число можно понимать как нечеткую величину x приблизительно находится в интервале [a,b] .
Пусть A и B -нечеткие подмножества классического множества X.
Мы говорим, что A есть подмножество B, если A(t) ? B(t), " t X.
Пусть A - нечеткое число. Если sup(A)={x0}, то A называется нечеткой точкой, и мы используем обозначение A =`x0.
Расширим операции над классическими множествами из теории обычных множеств на нечеткие множества. Все эти операции, которые являются расширением четких понятий, сводятся к их обычному пониманию, когда нечеткие подмножества имеют степени принадлежности из {0,1}. Поэтому, распространяя операции на нечеткие множества, мы используем те же символы, что и в теории множеств.
Пусть A и B - нечеткие подмножества непустого (четкого) множества X. Пересечение A и B определяется следующим образом:
(AB)(t)=min{ A(t), B(t) }= A(t)B(t), t X.
Пример:
Пусть A и B - нечеткие подмножества X={-2,-1,0,1,2,3,4}:
A=0.6/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.4/4.
B=0.1/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.2/4.
Тогда AB имеет следующий вид:
AB=0.1/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.2/4.
Объединение A и B определяется как
(AB)(t)=max{ A(t), B(t) }= A(t) B(t) t X.
Пример:
Пусть A и B -нечеткие подмножества X={-2,-1,0,1,2,3,4}.
A=0.6/-2+0.3/-1+0.6/0+1.0/1+0.6/2+0.3/3+0.4/4.
B=0.1/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.2/4.
Тогда AB имеет следующий вид:
AB=0.6/-2+0.3/-1+0.9/0+1.0/1+1.0/2+0.3/3+0.4/4.
Дополнение нечеткого множества A определяется как (A)(t)=1- A(t).
Для операций с нечеткими знаниями, выраженными при помощи лингвистических переменных, существует много различных способов. Эти способы являются в основном эвристиками. Усиление или ослабление лингвистических понятий достигается введением специальных квантификаторов. Для вывода на нечетких множествах используются специальные отношения и операции над ними.
Рассмотрим утверждение нечеткой импликации если давление высокое, то объем малый.
Функция принадлежности нечеткого множества A большое давление, показанная на рисунке 15, может быть интерпретирована как
.
а) 1 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 0.
б) 2 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 0,25.
в) 4 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 0,75.
г) u5 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 1.
Функция принадлежности нечеткого множества B малый объем показана на рисунке 16 и может быть интерпретирована как
.
а) 5 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 0.
б) 4 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 0,25.
в) 2 входит в нечеткое множество большое давление со степенью принадлежности 0,75.
г) 1 входит в нечеткое множество большое давление со степенью прин