Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ВВЕДЕНИЕ
Моя работа носит название Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева. Соответственно, она состоит из 2-х частей. Первая - ортогональные многочлены - обширнее другой. В ней дано определение системам ортогональных функций (многочленов), рассказано про ортонормированную систему, также изложены общие свойства ортогональных многочленов, экстремальные их свойства, дана для них Рекуррентная формула, формула Кристоффеля - Дарбу, говорю об элементарных свойствах нулей, их плотности, расстоянии между последовательными нулями, изменении их в зависимости от параметра.
Вторая часть - многочлены Чебышева содержит их определение первого и второго рода, рассказывает о нулях и об уклонении от нуля многочленов Чебышева первого рода.
Целью работы является изучение данной темы, изложенной в курсовой работе.
многочлен чебышев ортогональная функция
ЧАСТЬ 1.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
1. Системы ортогональных функций
Пусть задан отрезок и на нем неотрицательная весовая функция . Мы можем сопоставить тогда им скалярное произведение
(1)
которое определено для функций таких, что имеет интегрируемый квадрат на. Более общее скалярное произведение можно определить с помощью интеграла Стилтьеса
(2)
где - неубывающая функция. Если функция абсолютно непрерывна, то (2) сводится к (1), где. С другой стороны, если . является функцией скачков, то есть если она кусочно постоянна и имеет скачки величины в точках, то интеграл (2) сводится к сумме
(3)
которая задает скалярное произведение функций дискретного переменного.
Приведенное выше определение относится к вещественным функциям вещественного переменного, и на протяжении этой работы ограничимся лишь этим случаем. Если рассматриваемые функции принимают комплексные значения либо если область интегрирования является дугой в комплексной плоскости, отличной от отрезка вещественной оси, то функцию во всех указанных определениях и надо заменить комплексно сопряженным выражением.
Мы ограничимся определением (1) и будем предполагать, кроме того, что функция почти всюду положительна и интегрируема. Следует, однако, отметить, что многие из результатов вводных пунктов сохраняют силу и при определении (2), а следовательно и (3) для скалярного произведения.
Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Семейство функций называют ортогональной системой на отрезке относительно веса (или распределения ), если для любых двух различных элементов этого семейства имеем . Так как пространство функций с интегрируемым квадратом сепарабельно, то ортогональная система может содержать либо конечное число функций, либо счетное множество элементов. Таким образом, любая ортогональная система может быть записана в виде (конечной или бесконечной) последовательности либо, более краткo , а свойство ортогональности может быть выражено следующим образом:
Мы будем предполагать, что система , не содержит функций, почти всюду равных нулю, то есть что при всех скалярное произведение положительно. Легко видеть, что функции, принадлежащие любому конечному подмножеству ортогональной системы, линейно независимы, то есть что соотношение вида
(5)
может выполняться почти всюду на отрезке лишь в случае, когда . (Достаточно скалярно умножить обе части равенствa
на при .)
Функции образуют ортонормированную систему, если
(6)
Каждую ортогональную систему можно нормировать, заменив на
Конечную или бесконечную последовательность линейно независимых функций можно ортогонализовать относительно скалярного произведения (2), заменяя каждую из функций соответствующей линейной комбинацией. Например, мы можем положить рекуррентно
……………………………
Если положить
то функции образуют ортогональную последовательность.
Эту задачу можно решить иначе положив
(9)
и определив коэффициенты так, чтобы образовали ортогональную систему. Одно из таких определений приводит к
(10)
Очевидно, что функции образуют ортогональную систему, поскольку функция (10) ортогональна функциям а следовательно, функциям при всех . Кроме того, любая ортогональная система вида (9) отличается от лишь постоянными множителями. Для того чтобы нормировать систему (9), введем определитель Грама , который является алгебраическим дополнением функции в выражении (10) для . Определитель является в то же время дискриминантом положительно определенной квадратичной формы
относительно и, следовательно, положителен. Мы положим также Оргонормированная система вида (9), для которой , однозначно определяется формулой
(11)
Далее можно установить следующее интегральное представление:
(12)
где интеграл является n-кратным интегралом по параллелепипеду
В этой главе мы будем рассматривать системы функций, получаемые ортогонализацией но формулам (9) функций .
Таким образом, мы получим последовательность ортогональных многочленов , где является многочленом от x, степень которого в точности равна k, и
Задание отрезка и весовой функции (или распределения) определяет систему ортогональных многочле?/p>