Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
к которой представлен на рис. 1, а. Его мы получим, построив график функций (рис. 1, б) и вырезав из него сегмент от до Функция обратна функции . Итак, по определению - это дуга, заключенная в интервале от 0 до ?, косинус которой равен х.
Пусть теперь . Из формул
и
следует
Все входят в (17) только в четных степенях. Подставляя вместо , получаем
Заметим, что это многочлен от . Но , поэтому (18) - многочлен от степени , заданный на отрезке Он имеет специальное обозначение (Т - первая буква французского написания фамилии Чебышев - Tschebycheff) и называется многочленом Чебышева первого рода. Все свойства многочлена следуют из его определения:
Таким образом, многочлены Чебышева первого рода - это по существу но относительно это самые настоящие многочлены:
Приведем несколько первых многочленов Чебышева:
Графики многочленов приведены на рис. 25.
Представим себе прозрачный прямоугольник высотой и шириной , на котором начерчен график функции . Согнув его в цилиндр (прозрачный абажур), мы увидим график многочлена , если будем смотреть сбоку с такой точки, в которой косинусоида на передней половине боковой поверхности цилиндра, обращенной к нам, совместится с косинусоидой на задней половине боковой поверхности цилиндра, скрытой от нас (рис. 26).
Многочлены называются многочленами Чебышева второго рода. Их графики с точностью до множителяn=1,2,3 приведены на рис. 33 (внизу).
Выпишем в явном виде первые пять многочленов
Чебышева второго рода:
Многочлены Чебышева второго рода, как и многочлены Чебышева первого рода, тесно связаны с тригонометрическими функциями (например, при
Многочлены Чебышева второго рода известны не только как производные от многочленов Чебышева первого рода . Они важны и сами по себе: с точностью до некоторого множителя многочлены совпадают с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на отрезке
[-1, + 1] среди всех многочленов с коэффициентом при старшем члене, равном единице, если уклонение измерять как площадь под графиком модуля функции на отрезке [- 1, + 1], т. е. как
Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, имеют вид
наименьшее уклонение для равно
Взглянув на рис. 33, можно заметить, что многочлены Чебышева второго рода не обладают свойством равноколеблемости. Его аналогом служит следующее свойство: площади всех n + 1 частей плоскости, ограниченных осью х, прямыми х = 1 и графиком многочлена ,равны.
2.Нули многочленов Чебышева первого рода
Все свойства многочленов по существу следуют из определения . Докажем, что внутри отрезка [-1;1]многочлен имеет различных вещественных корней.
Из определения заключаем, что , если
откуда
Придавая значения 1, 2, ...,, получаем различных значений корней многочлена:
Действительно, если есть два числа из 1, 2, ...,, значений, то
а так как на интервале [-?, +?] косинус монотонно убывает от + 1 до - 1 (см. рис. 28), то , а поскольку -многочлен степени , то других корней, кроме (4), у него быть не может .
То, что многочлен не имеет других корней, кроме (4), можно вывести и из общей формулы корней (3). Действительно,
Для построения корней многочлена можно поступить следующим образом. Разделим полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат на 2? равных частей, начиная от правого конца диаметра против часовой стрелки (рис. 29), и опустим из точек деления через одну перпендикуляры на ось абсцисс. Основания перпендикуляров совпадают с корнями (4) многочлена . Видно, что распределение корней неравномерно: у концов отрезка [- 1, + 1] они скапливаются, а в середине встречаются реже.
Докажем теперь, что на отрезке [-1, +1] корни многочлена расположены симметрично относительно середины, т. е. что при четном n все корни многочлена подразделяются на пары, равноотстоящие от концов отрезка [- 1, + 1], а при нечетном n без пары остается только нулевой корень, совпадающий с серединой отрезка [- 1, + 1].
Это свойство следует из графического построения корней многочлена (см. рис. 25), но легко доказывается и аналитически. Действительно, пусть - некоторое число из набора 1, 2, ..., . Если считать от конца набора к началу, то на месте стоит число
т. е. , что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что корни многочленов и перемежаются.
Действительно, корни многочлена можно рассматривать как проекции на ось х точек деления верхней полуокружности на n равных частей (см. рис. 29).
Для любых трех углов, связанных неравенством справедливо неравенство , так как на интервале [0, ?] косинус монотонно убывает (см. рис. 30). Угол, соответствующий -му корню многочлена (k = 1, 2, ..., n), больше угла, соответствующего - му корню многочлена , так как , но не больше угла, соответствующего (k+1)-му корню многочлена . Следовательно, k-й корень многочлена заключен между k-м и (k+1)-м корнями многочлена , поэтому корни связаны неравенством
Нетрудно видеть, что в интервале нет других корней многочлена , кроме Следовательно в каждом таком интервале заключен один и только один корень , т. е. нули многочлена и действительно перемежаются.
3. Уклонение от нуля
Многочлены Чебышева первого рода насле