Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
дуют от косинуса и такое важное свойство, как равноколеблемость: как известно, наибольшее и наименьшее значения косинуса равны по абсолютной величине, т. е. косинус отклоняется от нуля одинаково как в положительную, так и в отрицательную сторону (рис 30).
Справедливы утверждения:
1.Уклонение многочлена Чебышева первого рода степени на отрезке [- 1, + 1] при любом равно 1.
.Многочлен при любом наименее уклоняется от нуля на отрезке [- 1, + 1].
При любом существует единственный многочлен степени n, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [- 1, + 1]. Следовательно,
Итак, при любом многочлен степени наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [- 1, + 1], отличается от многочлена Чебышева первого рода
только множителем 1/.
Итак, наше знакомство с многочленами Чебышева первого рода привело к важному открытию (сделанному задолго до нас П. Л. Чебышевым): при любом из всех многочленов степени с коэффициентом 1 при старшем члене наименее уклоняется от нуля многочлен
(где -многочлен Чебышева первого рода степени n) и только многочлен . Этим свойством многочлены Чебышева выделяются среди всех многочленов. Учитывая уникальное их свойство, продолжим изучение многочленов.
.Часто (особенно в русской и французской литературе) ортогональные многочлены вообще называют многочленами Чебышева. Имеется также много частных систем ортогональных многочленов, называемых многочленами Чебышева. В этой главе мы сохраним названия многочленов Чебышева первого и второго рода для соответственно стандартизированных ортогональных многочленов, связанных с
(1)
Очевидно, что многочлены Чебышева первого рода отличаются лишь постоянным множителем от многочленов Якоби таких, что
и многочлены Чебышева второго рода - от многочленов Якоби, для которых . Эти многочлены Якоби являются ультрасферическими многочленами (для многочленов первого рода и для многочленов второго рода)
Соотношение ортогональности для многочленов Чебышева первого рода имеет вид
Подставим и заметим, что является многочленом степени от Мы видим, что отличается лишь постоянным множителем от . Таким же образом можно показать, что отличается лишь
постоянным множителем от Мы стандартизируем наши многочлены, положив
Многие соотношения, содержащие многочлены Чебышева, являются парафразами хорошо известных тригонометрических тождеств. Например, мы имеем соотношение между двумя видами многочленов Чебышева
Многочлены Чебышева являются ультрасферическими многочленами, для которых при натуральном можно выразить как производную соответствующего порядка от многочленов Чебышева.
.Стандартизация.
Она даeтся формулой (2). Из нее следует, что
где определено формулой 10.9 (6) и - (формулой 10.10(21).
2.Постоянные. Для
Для
.Формулы Родрига.
Рекуррентная формула является либо, либо ):
Формула Кристоффеля - Дарбу:
где является либо , либо . В случае первый член нашей суммы надо разделить пополам. Дифференциальные уравнения
Формулы дифференцирования (штрих означает дифференцирование по х):
Явные выражения:
4.Гипергеометрические функции.
Из этих соотношений следует
5. Производящие функции.
Во всех этих пяти формулаx
В последних двух формулах
6. Интегральные представления.
Контурные интегралы, выражающие многочлены Чебышева, могут быть получены с помощью любой из производящих функций
. Различные результаты
Все эти формулы являются парафразами тригонометрических тождеств.
Задача Чебышева
Задача. Пусть -весовая функция на отрезке, , a - данная вещественная функция, определенная на том же отрезке и такая, что существуют интегралы
Пусть - произвольный, не равный нулю тождественно многочлен фиксированной степени , неотрицательный на отрезке . Определить максимум и минимум отношения
Решение. Пусть и конечны. Применяя опять представление , мы легко находим, что искомые величины суть максимум и минимум следующих квадратичных форм относительно
(3)
при условии, что
В первом случае ). Здесь имеют тот же смысл, что в .
Пусть теперь конечно,. Тогда нам нужно рассмотреть максимум и минимум формы
при условии
Здесь - ортонормальные последовательности, соответствующие весовым функциям.
В случае мы должны рассмотреть форму
где - ортонормальная последовательность, соответствующая и (-).
Таким образом, но всех этих случаях рассматриваемая задача сводится к определению наибольшего и наименьшего характеристического значения некоторой квадратичной формы. Изучая сумму двух квадратичных форм соответственно относительно и , мы находим наибольшее характеристическое значение каждой из форм в отдельности, и большее из этих значений будет искомым максимумом. Аналогичное замечание ?/p>