Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?роходит при ). Если мы положим
то из нашего предположения вытекает, что. Выберем теперь многочлен
где многочлен Чебышева. Если мы затем предположим, что отрезок не содержит нулей, то будем иметь
следовательно,. Из зтого вытекает, что
Но многочлен монотонно возрастает при , так что при ; поэтому на отрезке мы имеем
где - положительная постоянная, не зависящая от . Отсюда следует, что, что противоречит допущению теоремы.
6. Расстояние между последовательными нулями
Здесь и в дальнейших пунктах рассматриваются распределения вида
Т е о р е м а 1. Пусть - весовая функция на конечном отрезке ограниченная снизу положительным числом:
Пусть - записанные в убывающем порядке нули (разумеется, каждое зависит от и ) соответствующего ортонормального многочлена . Записывая и виде
будем иметь
Здесь константа зависит только от. Эрдёш и Туран (письменное сообщение) предполагают существование интеграла
вместо условия . Их доказательство основано на изучении распределения узлов интерполирования, для которых соответствующие фундаментальные многочлены удовлетворяют некоторым условиям.
Следующее доказательство для частного случая проведено Ленжиелем, который исключил из доказательства Эрдёша и Турана ссылки на теорию интерполирования.
Пусть целое число,а. Определим многочлен
равенством
где - некоторые целые положительные числа.
Каждое слагаемое правой части представляет собой один и тот же тригонометрический многочлен порядка , взятый соответственно при значениях аргумента и . Таким образом, их сумма будет косинус-многочленом порядка. Если , то мы имеем
откуда при всех значениях вытекают неравенства
следовательно,
То же самое неравенство, но со знаком вместо знака <, справедливо для , так как . Таким образом,
получаем
С другой стороны, значение при не меньше, чем , следовательно, если мы положим, то получим
где - положительная постоянная, зависящая только от и . Сравнивая (8) и (9):
Или
Подставляя, мы видим,что условие удовлетворено для больших значений (2) немедленно вытекает.
Отметим следующий простой результат:
Т е о р е м а 2. Пусть весовая функция на отрезке . такая, что
где А и B - положительные постоянные. Если -записанные а убывающем порядке нули ортонормаль-
ного многочлена , соответствующего весовой функции , то
Это замечание такжe принадлежит Эрдёшу и Турану (письменное сообщение). Обозначим через коэффициент Кристоффеля, соответствующий точке .Тогда
С другой стороны, выражение
есть , относительно . Кроме того, , следовательно, выполняются неравенства
Справедливость требуемого неравенства вытекает из сопоставления (13) и (14).
Эрдёш и Турай доказали также, что при условиях(в обозначениях теоремы 2) имеют место неравенства
если только . Здесь зависят от .
7.Изменение нулей в зависимости от параметра
А. А. Марков доказал важное предложение относительно зависимости нулей многочлена от параметра , который входит в весовую функцию.
Теорема 1. Пусть - такая весовая функция на отрезке зависящая от параметра , что положительна и непрерывна при . Допустим, кроме того, существование и непрерывность частной производной при, а также сходимость интегралов
и при том равномерную на каждом замкнутом отрезке лежащем внутри открытого промежутка . Обозначим нули многочлена через , тогда -й нуль (при фиксированном значении ) является возрастающей функцией от , если только отношение является возрастающей функцией от
Интегралы , определяющие моменты, сходятся равномернo при и могут быть продифференцированы по. Пусть . При функция имеет положительный минимум, стало быть, определители , при равномерно ограничены снизу положительным числом.В соответствии с коэффициенты многочлена , а следовательно, и нули (которые все различны), имеют непрерывную производную в промежутке .
Пусть будет фиксированным , положив Коэффициенты Кристоффеля , очевидно, являются непрерывно дифференцируемыми функциями от . Дифференцируя по равенство получаем
Подставляя сюда
Имеем
поскольку при . Левая часть равенства может быть записана в виде
так как второе слагаемое в силу ортогональности равно нулю. В соответствии с допущением теоремы разность
имеет тот же знак, что .
Таким образом, утверждение теоремы доказано.
Отметим такое следствие:
Т е о р е м а .2. Пусть и - две весовые функции на , положительные и непрерывные в промежутке . Пусть - возрастающая функция. Если и означают записанные в убывающем порядке нули соответствующих ортогональных многочленов степени , то справедливы неравенства
Полагая, мы видим, что выражение
представляет coбой возрастающую функцию относительно при, имеем также ,,
ЧАСТЬ 2. Многочлены Чебышева
. Многочлены Чебышева первого рода
Прежде всего напомним, что есть функция с областью определения [- 1, +1], графи