Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?праведливо и для минимума. Однако, фактическое применение этого метода трудно, - часто бывает предпочтительнее использовать некоторые формулы механических квадратур (см. ниже).
Аналогичные рассуждения применимы и случае, когда интегралы (2) заменяются интегралами Стилтьеса.
Пусть . Достаточно определить максимум и минимум отношения
где есть произвольный с вещественными коэффициентами, не равный нулю тождественно. Затем мы должны заменить соответственно через .см.ниже. Пусть - нули многочлена , соответствующего весовой функции находим для отношения (6) представление
где - числа Кристоффеля. Следовательно, искомые максимум и минимум совпадают соответственно с наибольшим и наименьшим нулем многочлена . Если означает наибольший из нулей многочлена , то из (3) видно, что максимум отношении (2) в этом случае будет равен:
Аналогичный результат имеем для минимума.
На этом общие рассуждения П. Л. Чебышева заканчиваются. Однако, можно доказать, что выражения (8) соответственно равны и , следовательно, справедлива такая теорема:
Теорема.1. Пусть будет весовой функцией на отрезке . Пусть - произвольный , неотрицательный на и не равный нулю тождественно. Тогда максимум отношения
равен большему из нулей многочлена , если , и большему из нулей многочлена , если.
Здесь является последовательностью ортонормальных многочленов, соответствующих весовой функции на отрезке.
Мы имеем
Пусть - нули многочлена , записанные в убывающем порядке. Мы покажем, что первый определитель в правой части (10) не равен нулю, если. В самом деле, справедливо равенство
где. Далее мы видим, что последний определитель положителен при, так как
С другой стороны, убывает от до между и и от до между и 1. Кроме того, Стало быть, наибольший из нулей или более, чем наибольший из нулей, или
П.Л. Чебышев подробно исследовал случай
С точностью до постоянных множителей мы имеем
Это дает следующую теорему:
Теорема 2. Пусть - неравный нулю тождественно произвольный , неотрицательный на отрезке. Тогда максимум отношения
равен большему из нулей многочлена , если; если же, то максимум равен большему из нулей многочлена
Расстояние от максимального значения до единицы есть величина порядка при . Минимум, очевидно, ранен соответствующему отрицательному значению.