Ортогональные многочлены. Многочлены Чебышева
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
тметим частный случай, когда :
4.Элементарные свойства нулей
Т е о р е м а .1. Нули ортогональных многочленов , соответствующих распределению на отрезке, являются вещественными и простыми и расположены внутри промежутка.
В специальных случаях, в частности в классических случаях, мы получим в дальнейшем более точные сведения относительно распределения нулей. В качестве следствия из теоремы 1 имеем, где и - соответственно наименьший и наибольший нули многочлена.
Обычное доказательство предыдущей теоремы основано на свойстве ортогональности. Из равенства
вытекает, что внутри промежутка лежит по крайней мере один нуль , в котором меняет знак. (Функция имеет бесконечное число точек роста). Если -абсциссы всех таких нулей, то произведение имеет постоянный знак (т. е. неотрицательно или неположительно на всем отрезке). С другой стороны, если , то
Так как подынтегральное выражение не является нулевой функцией, то; следовательно,
Предыдущее рассуждение может быть несколько видоизменено следующим образом. Пусть - произвольный нуль многочлена
Поскольку коэффициенты вещественны, то есть C другой стороны, имеем
Следовательно,
Иными словами, точка является центром тяжести распределения масс на отрезке. Поскольку интеграл в левой части (3) положителен, то число вещественно. Из (2) мы видим, что
Если бы точка была кратным нулем, то мы имели бы
что приводит к противоречию.
Вещественность и простота нулей (без более подробного утверждения об их расположении на отрезке могут быть установлены из рекуррентной формулы с помощью теоремы Штурма. В самом деле,многочлены
образуют последовательность Штурма на отрезке , так как:
а) если того, что ;
б)- постоянная , - многочлен точной степени ;
в) в точке, в которой, мы имеем . Последний факт следует из (3.2.4), если заменить через , а через , (см. ниже). Далее, число изменений знака и (5) равно , если , и достаточно велик; оно равно нулю, если , и достаточно велико.
Из (3.2.4) мы получаем при вещественных важное неравенство:
В качестве первого следствия из него отметим, что многочлены не могут иметь общих нулей. Более того, мы получаем следующую теорему о взаимном разделении нулей:
Т е о р е м а 2. Пусть нули многочлена. Тогда каждый промежуток содержит один и только один нуль многочлена .
Действительно, если , - два последовательных нуля многочлена, то. С другой стороны, (6) дает
, следовательно. Это означает, что в промежутке , лежит нечетное число нулей многочлена значит, по крайней мере один. Пусть - наибольший из нулей тогда и (6) дает . Так как >0 имеет по крайней мере один пуль справа от точки, и аналогично хотя бы один нуль слева от наименьшего нуля многочлена.Следовательно, мы можем иметь лишь по одному нулю в промежутках между . Меняя ролями можем показать, что между двумя последовательными нулями многочлена лежит по крайней мере один нуль . Это показывает снова, что между двумя нулями многочлена нe может лежать более одного нуля многочлена .
Теорема 3. Между двумя нулями многочлена лежит по крайней мере один нуль многочлена .
Пусть - нули многочлена , записанные в возрастающем порядке. Мы имеем
где - числа Кристоффеля, соответствующие последовательности , a a - произвольный . Далее, рассуждение, подобное приведенному выше, показывает, что последовательность имеет не менее чем перемен знака, следовательно, в точности . При этом. Стало быть, имеется различных интервалов
содержащих точно по одному нулю многочлена .
Другими следствиями неравенства (6) являются два следующих предложения:
Теорема 4. Пусть с - произвольная вещественная постоянная. Тогда многочлен
Имеет различных нулей. Если с>0 (с<0),то эти нули лежат внутри промежутка, за исключением большего (соответственно меньшего), который лежит на отрезке только при условии (соответственно ).
Действительно, функция возрастает от до в промежутке где.
Теорема 5. Справедливо следующее разложение на элементарные дроби:
где - нули многочлена. В самом деле, мы имеем
5.Плотность нулей
Т е о р е м а 1. Пусть распределение, заданное на конечном отрезке , и пусть - соответствующая ортонормальная последовательность многочленов.
Пусть - такая часть отрезка , что
Тогда, если достаточно велико, то всякий многочлен имеет на отрезке хоть один нуль.
Для доказательства мы применим формулу механической квадратуры Гаусса- Якоби. Пусть - произвольный , который не превосходит нуля на отрезке , за возможным исключением отрезка . Допуская, что многочлен не имеет нулей , и полагая, получим
Отсюда на основании теоремы Вейерштрасса следует, что
для всякой непрерывной на отрезке функции, которая на всем отрезке, за возможным исключением отрезка, не превосходит нуля. Если мы определим функцию следующим образом:
то придем к противоречию.
Т е о р е м а 2. Теорема 1 этого пункта работы остается справедливой и для бесконечного интервала , если только больший по модулю нуль многочлена есть величина .
Это замечание принадлежит Хану(он утверждает, не дав удовлетворительного доказательства, что если или конечно, то нижеследующее доказательтво ?/p>